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16.(1)如图1所示,ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道,BC段水平,AB段与BC段平滑连接.质量为m1的小球从高为h处由静止开始沿轨道下滑,与静止在轨道BC段上质量为m2的小球发生碰撞,碰撞前后两球的运动方向处于同一水平线上,且在碰撞过程中无机械能损失.求碰撞后小球m2的速度大小v2
(2)碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用.为了探究这一规律,我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型.如图2所示,在固定光滑水平直轨道上,质量分别为m1、m2、m3…mn-1、mn、…的若干个球沿直线静止相间排列,给第1个球初能Ek1,从而引起各球的依次碰撞.定义其中第n个球经过一次碰撞后获得的动能Ekn与Ek1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k1n
①求k1n;   
②若m1=4m0,m3=m0,m0为确定的已知量.求m2为何值时,k13最大.

分析 (1)由于两球在碰撞的过程中机械能守恒,同时动量也守恒,列出方程组即可求得碰撞后小球m2的速度大小;
(2)根据动能传递系数的定义,求出第n个球的动能,与第1个球的动能相比较即可,再根据得到的结论分析即可求得m2的值.

解答 解:(1)设碰撞前m1的速度为v10,根据机械能守恒定律有:${m_1}gh=\frac{1}{2}{m_1}v_{10}^2$…①
设碰撞后m1与m2的速度分别为v1和v2,根据动量守恒定律有:m1v10=m1v1+m2v2…②
由于碰撞过程中无机械能损失,有:$\frac{1}{2}{m_1}v_{10}^2=\frac{1}{2}{m_1}v_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$…③
②、③式联立解得:${v_2}=\frac{{2{m_1}{v_{10}}}}{{{m_1}+{m_2}}}$…④
将①式代入④式得:${v_2}=\frac{{2{m_1}\sqrt{2gh}}}{{{m_1}+{m_2}}}$
(2)①:由④式,考虑到${E}_{K1}=\frac{1}{2}{m}_{\;}{v}_{10}^{2}和{E}_{K2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
得:${E_{k2}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{({m_1}+{m_2})}^2}}}{E_{k1}}$
根据动能传递系数的定义,对于1、2两球有:${k_{12}}=\frac{{{E_{k2}}}}{{{E_{k1}}}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{({m_1}+{m_2})}^2}}}$…⑤
同理可得,球m2和球m3碰撞后,动能传递系数k13应为:
${k_{13}}=\frac{{{E_{k3}}}}{{{E_{k1}}}}=\frac{{{E_{k2}}}}{{{E_{k1}}}}•\frac{{{E_{k3}}}}{{{E_{k2}}}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{({m_1}+{m_2})}^2}}}•\frac{{4{m_2}{m_3}}}{{{{({m_2}+{m_3})}^2}}}$…⑥
依此类推,动能传递系数k1n应为:
${k_{1n}}=\frac{{{E_{kn}}}}{{{E_{k1}}}}=\frac{{{E_{k2}}}}{{{E_{k1}}}}•\frac{{{E_{k3}}}}{{{E_{k2}}}}…\frac{{{E_{kn}}}}{{{E_{k(n-1}})}}=\frac{{4{m_1}{m_2}}}{{{{({m_1}+{m_2})}^2}}}•\frac{{4{m_2}{m_3}}}{{{{({m_2}+{m_3})}^2}}}…\frac{{4{m_{n-1}}{m_n}}}{{{{({m_{n-1}}+{m_n})}^2}}}$
解得    ${k_{1n}}=\frac{{{4^{n-1}}{m_1}m_2^2m_3^2…m_{n-1}^2{m_n}}}{{{{({m_1}+{m_2})}^2}{{({m_2}+{m_3})}^2}…{{({m_{n-1}}+{m_n})}^2}}}$
②:将m1=4m0,m3=m0代入⑥式可得:
${k_{13}}=64m_0^2{[{\frac{m_2}{{(4{m_0}+{m_2})({m_2}+{m_o})}}}]^2}$
为使k13最大,只需使$\frac{m_2}{{(4{m_0}+{m_2})({m_2}+{m_0})}}=\frac{1}{{{m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}+5{m_0}}}最大,即{m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}取最小值$,
由${m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}={({\sqrt{m_2}-\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}})^2}+4{m_0}可知$,
$当\sqrt{m_2}=\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}},即{m_2}=2{m_0}时,{k_{13}}最大$.
答:(1)碰撞后小球m2的速度大小为$\frac{2{m}_{1}\sqrt{2gh}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$;
(2)①k1n为$\frac{{4}^{n-1}{m}_{1}{m}_{2}^{2}{m}_{3}^{2}…{m}_{n-1}^{2}{m}_{n}}{{({m}_{1}+{m}_{2})}^{2}{({m}_{2}+{m}_{3})}^{2}…{({m}_{n-1}+{m}_{n})}^{2}}$;  
②若当m2=2m0 时,k13值最大.

点评 本题目中给的信息比较多,并且是平时不曾遇到的,但是根据题目的信息,逐步分析,根据动能的规律归纳,可求出每个小球的动能,再作比较就能够的出结论.解本题的关键是在对所给信息的理解.

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