Question

20．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．已知火星球体半径为R，探测器在离火星表面某高度的圆轨道上运动时周期为T．假设在距火星表面某处将一小球以初速度v₀竖直向上抛出，小球经时间t落回抛出点．已知引力常量为G，试依据上述数据和已知量，计算出探测器围绕火星做圆周运动时距离火星表面的高度H．

Answer 1

分析 以小球为研究对象，根据竖直上抛运动的规律求出小球的加速度，即为火星表面的重力加速度．根据万有引力与重力近似相等，求出火星的质量．再对探测器研究，根据万有引力提供力向心力，由牛顿第二定律求出探测器围绕火星做圆周运动时距离火星表面的高度H．

解答 解：小球在火星表面做竖直上抛运动，则有
  0=v₀-g$•\frac{t}{2}$
可得火星表面的重力加速度 g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
当探测器围绕火星运动时有
  G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+H）
若探测器在火星表面上有：
  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
联立以上各式解得 H=$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}}{2{π}^{2}t}}$-R
答：探测器围绕火星做圆周运动时距离火星表面的高度H为$\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}{v}_{0}}{2{π}^{2}t}}$-R．

点评 本题关键是根据竖直上抛运动计算出火星表面的重力加速度．本题还要知道探测器绕火星做匀速圆周运动，火星对探测器的万有引力提供向心力，并且要能根据题意选择恰当的向心力的表达式．