Question

19．如图1所示，两根足够长的光滑固定导轨MN、PQ竖直放置，导轨电阻不计，两根质量都为m=0.2kg、电阻分别为R₁=2Ω和R₂=6Ω的细金属棒ab和cd垂直导轨并排靠紧的套在导轨上，与磁场上边界距离为h=0.8m，有界匀强磁场宽度为H=2.4m．先将金属棒ab由静止释放，金属棒ab刚进入磁场就恰好做匀速运动，此时立即由静止释放金属棒cd，金属棒cd在出磁场前已做匀速运动．两金属棒在下滑过程中与导轨接触始终良好（取重力加速度g=10m/s²）．求：

（1）金属棒ab刚进入磁场时棒ab中电流I和棒ab两端电压U；
（2）两根金属棒全部通过磁场的过程中金属棒ab产生的焦耳热Q_ab；
（3）在图2中画出ab棒进入磁场到cd棒离开磁场的过程中，通过金属棒cd的电流I随cd棒位移x的变化图象（规定顺时针的电流方向为正方向，并标出金属棒进出磁场时电流的大小及变化情况）．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可求得下落0.8m时的速度，再由共点力的平衡条件及感应电动势公式和欧姆定律可求得感应电流及电压；
（2）分析两棒的下落过程，明确能量转化的方向，由功能关系可求得ab上产生的热量；
（3）根据（2）中的过程明确各过程中感应电流的产生条件，即可得出感应电流的变化情况．

解答 解：（1）对金属框下落过程由机械能守恒定律可知：
mgh=$\frac{1}{2}$mv²；
v=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s；
ab边进入磁场过程时做匀速直线运动，则有：
mg=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
代入数据解得：BL=2；
故电动势为：E=BLv=2×4=8V；
电流为：I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{8}{2+6}$=1A；
ab棒两端的电压等于路端电压，故U=IR₂=1×6=6V；
（2）在cd开始进入磁场时，速度与ab进入时的速度相等，故两导体棒产生的感应电动势相等，导体中感应电流为零；故两棒向下做加速度为g的匀加速直线运动；
当ab边离开磁场后，cd边切割磁感线，电路中产生感应电流；
在只有ab进入磁场的过程中，cd下落0.8m时，ab下落为1.6m；
产生的焦耳热为：Q₁=mgh=0.2×10×2×0.8J=3.2J；
全部在磁场中时没有感应电流，没有焦耳热；
由于cd进入磁场和离开磁场过程中，初速度速度相等，则可知，cd切割过程减小的重力势能等于增加的内能；
cd下降的高度为h₁=2.4m；
且在1.6m内初末动能相同，故cd减小的重力势能转化为ab、cd的内能为：Q₂=mgh₁=2×2.4=4.8J；
两棒中电阻之比为1：3；，消耗的电功率之比为1：3；故ab中产生的热量为：Q₂'=$\frac{{Q}_{1}+{Q}_{2}}{4}$=$\frac{3.2+4.8}{4}$=2J；
在整个下落过程中，ab棒上产生的热量为：Q_总=2J；
（3）由以上分析可知，在cd下落的开始0.8m内，电流为0.2A；此后下落的0.8m内电流为零；下落0.8m时cd的速度为：
v'=$\sqrt{{v}^{2}+2gh}$=$\sqrt{16+2×10×0.8}$=4$\sqrt{2}$m/s；
感应电流为：I'=$\frac{BLv′}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=$\frac{2×4\sqrt{2}}{8}$=$\sqrt{2}$m/s；
此后做减速运动，电流越来越小，并且变化越来越慢；当cd下落2.4m时电流变为0.5A；根据右手定则可知，电流先为顺时针，再为逆时针；
故电流的变化如图所示：
答：（1）金属棒ab刚进入磁场时棒ab中电流I为1A；棒ab两端电压U为6V；
（2）两根金属棒全部通过磁场的过程中金属棒ab产生的焦耳热为2
（3）图象如图所示；

点评 本题考查电磁感应现象中的功能关系，要注意认真分析物理规律，明确功能转化的规律才能顺利解题；本题难点在于两棒的运动关系的把握．