Question

16．科技馆有一套儿童喜爱的机械装置，其结构简图如下：传送带AB部分水平，其长度L=1.2m，传送带以3m/s的速度顺时针匀速转动，大皮带轮半径r=0.40m，其下端C点与圆弧轨道DEF的D点在同一水平线上，E点为圆弧轨道的最低点，圆弧EF对应的圆心角θ=37°且圆弧轨道的半径R=0.50m，F点和倾斜传送带GH的下端G点平滑连接，倾斜传送带GH长为x=4.45m，其倾角θ=37°．某同学将一质量为0.5kg且可以视为质点的物块静止放在水平传送带左端A处，物块经过B点后恰能无碰撞地从D点进入圆弧轨道部分，当经过F点时，圆弧给物块的摩擦力f=14.5N，然后物块滑上倾斜传送带GH．已知物块与所有的接触面间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，$\sqrt{7.2}$=2.68，求：
（1）物块由A到B所经历的时间；
（2）DE弧对应的圆心角α为多少；
（3）若要物块能被送到H端，倾斜传送带顺时针运转的速度应满足的条件及物块从G端到H端所用时间的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对物体做受力分析可知，物体在传送带上在摩擦力的作用下做加速运动，由牛顿第二定律求出加速度，然后由运动学的公式求出时间；
（2）先求出物体在B点做平抛运动的临界条件，然后对B点飞出后的平抛运动规律进行分析可求得DE弧对应的圆心角α为多少；
（3）结合向心力的公式，求出物体到达F点的速度，然后由受力分析求出物体在倾斜的传送带上的受力和加速度，结合运动学的公式即可求解．

解答 解：（1）放在水平传送带上的物体受到重力、支持力和摩擦力的作用，摩擦力提供水平方向的加速度，由牛顿第二定律得：
ma₁=μmg
所以：${a}_{1}=μg=0.5×10=5m/{s}^{2}$
物体加速到3m/s的时间：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{3}{5}=0.6$s
在加速阶段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×5×0．{6}^{2}=0.9$m＜1.2m
物体做匀速直线运动的时间：${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{{v}_{1}}=\frac{1.2-0.9}{3}=0.1$s
物块由A到B所经历的时间：t=t₁+t₂=0.6+0.1=0.7s
（2）若物体能在B点恰好离开传送带做平抛运动，则满足：
$mg=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：${v}_{0}=\sqrt{gr}=10×0.4=2$m/s＜3m/s
所以物体能够在B点离开传送带做平抛运动，平抛运动的时间：
${t}_{3}=\sqrt{\frac{2×2r}{g}}=\sqrt{\frac{2×2×0.4}{10}}=0.4$s
到达D点时物体沿竖直方向的分速度：v_y=gt₃=10×0.4=4m/s
到达D点时物体的速度与水平方向之间的夹角：$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{4}{3}$
所以：α=53°如图：
即DE弧对应的圆心角α为53°
（3）当经过F点时，圆弧给物块的摩擦力f=14.5N，所以物体在F点受到的支持力：
${F}_{N}=\frac{f}{μ}=\frac{14.5}{0.5}=29$N
物体在F点时，支持力与重力的分力提供向心力得：
${F}_{N}-mgcos37°=\frac{m{v}_{3}^{2}}{R}$
代入数据得：v₃=5m/s
物体在倾斜的传送带上受到重力、支持力和滑动摩擦力的作用，滑动摩擦力：
f′=μmgcos37°=0.5×0.5×10×0.8=2N
重力沿斜面向下的分力：F_x=mgsin37°=0.5×10×0.6=3N＞f′
可知物体不可能相对于传送带静止，所以物体在传送带上将一直做减速运动．物体恰好到达H点时的速度为0．
Ⅰ、若传送带的速度大于等于物体在F点的速度，则物体受到的摩擦力的方向向上，物体一直以不变的加速度向上做减速运动；此时：
ma₃=F_x-f′，${a}_{3}=\frac{{F}_{x}-f′}{m}=\frac{3-2}{0.5}=2m/{s}^{2}$
物体的位移为：$x={v}_{3}t′-\frac{1}{2}{a}_{3}t{′}^{2}$
即：4.45=5t′-$\frac{1}{2}×2×t{′}^{3}$
代入数据解得：t′=1.16s，（或t′=3.84s．该时间不和题意，要舍去）
Ⅱ、若传送带的速度小于物体在F点的速度，则物体先相对于传送带向上运动，受到的摩擦力的方向向下；当物体的速度小于传送带的速度后，受到的摩擦力的方向向上，物体继续向上做减速运动，加速度的大小发生变化．
设物体恰好能到达H点时，传送带的速度是v_min，且v_min＜v₃，物体到达H点的速度为0．
物体的速度大于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向下，此时：
ma₂=f′+F_x=2+3=5N，则：${a}_{2}=\frac{5}{0.5}=10m/{s}^{2}$
物体的速度小于传送带的速度时，物体受到的摩擦力的方向向上，则：
${a}_{3}=\frac{{F}_{x}-f′}{m}=\frac{3-2}{0.5}=2m/{s}^{2}$
物体向上的减速运动若反过来看，也可以是向下是加速运动，初速度为0，末速度为v₃，设下面的一段时间为t₄，上面的一段时间为t₅，可得：
v₃t₅=v_min，v_min+a₂t₄=v₃，$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{5}^{2}+（{v}_{3}{t}_{4}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{4}^{2}）=x$
联立以上三式，代入数据得：t₄=0.1s，t₅=2.0s，v_min=4m/s
物体从F点运动到H点的总时间：t″=t₄+t₅=0.1+2.0=2.1s
综合以上的分析可知，若要物体能够到达H点，传送带的速度赢满足：v≥4m/s，物体运动的时间范围是：1.16s≤t≤2.1s．
答：（1）物块由A到B所经历的时间是0.7s；
（2）DE弧对应的圆心角α为53°；
（3）若要物块能被送到H端，倾斜传送带顺时针运转的速度应满足的条件是v≥4m/s，物块从G端到H端所用时间的取值范围是：1.16s≤t≤2.1s．

点评 本题借助于传送带问题考查牛顿运动定律的综合应用、平抛运动及圆周运动的规律，要求能正确分析物体的运动过程，并能准确地进行受力分析，选择合适的物理规律求解．
传送带的问题是牛顿运动定律的综合应用中比较复杂的问题，该题竟然有两个传送带，题目的难度太大．