Question

12．如图，矩形ABCD为一水平放置的玻璃砖的截面，在截面所在平面有一细束激光照射玻璃砖，入射点距底面的高度为h，反射光线和折射光线与底面所在平面的交点到AB的距离分别l₁和l₂．保持激光束在AB面上入射点的高度不变，在截面所在平面内改变激光束的入射角的大小，当折射光线与底面的交点到AB的距离为l₃时，光线恰好不能从底面射出，求l₃．

Answer 1

分析 根据几何关系求出入射角和折射角的正弦值，再求得玻璃砖的折射率．光线恰好不能从底面射出时，入射角等于临界角C，由sinC=$\frac{1}{n}$求出临界角C，再由几何关系求l₃．

解答 解：设玻璃砖的折射率为n，入射角和折射角分别为θ₁和θ₂．由光的折射定律得：
n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$
根据几何关系有：
sinθ₁=$\frac{h}{\sqrt{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$
sinθ₂=$\frac{h}{\sqrt{{l}_{2}^{2}+{h}^{2}}}$
可得：n=$\sqrt{\frac{{l}_{2}^{2}+{h}^{2}}{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}}$
根据题意，折射光线在某一点刚好无法从底面射出，此时发生全反射，设底面发生全反射的入射角为θ₃，则有：
sinθ₃=$\frac{1}{n}$
根据几何关系有：
sinθ₃=$\frac{{l}_{3}}{\sqrt{{l}_{3}^{2}+{h}^{2}}}$
解得：l₃=h$\sqrt{\frac{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}{{l}_{2}^{2}-{l}_{1}^{2}}}$
答：l₃是h$\sqrt{\frac{{l}_{1}^{2}+{h}^{2}}{{l}_{2}^{2}-{l}_{1}^{2}}}$．

点评 本题是几何光学问题，要正确作出光路图，明确全反射的条件是解题的关键，并能熟练应用几何知识求相关的角度和距离．