Question

13．如图所示的空间分布Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，各边界面相互平行，Ⅰ区域是电压为U的平行板电场，Ⅱ、Ⅲ区域为匀强磁场，磁场的方向分别为垂直纸面向外和垂直纸面向里，磁感应强度大小分别为B和2B，两个磁场区域宽度均为d，一质量为m、电荷量为q的正粒子从O₁点由静止释放，通过N板小孔O₂后水平垂直进入磁场区域Ⅱ，已知粒子的荷质比满足关系：$\frac{q}{m}$=$\frac{U}{2{d}^{2}{B}^{2}}$，粒子的重力忽略不计．求：
（1）粒子离开Ⅰ区域时的速度大小v；
（2）粒子在Ⅱ区域内的运动时间t；
（3）粒子离开Ⅲ区域时速度与边界面的夹角α．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中只受电场力做功，由动能定理可求得粒子离开I区域时的速度；
（2）粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动，由牛顿第二定律可得出粒子运动半径，由几何关系可得出粒子在Ⅱ中转过的圆心角，则可求得粒子运动的时间t；
（3）由牛顿第二定律可求得粒子区域Ⅲ中的半径，由几何关系可得出粒子离开时与边界面的夹角α．

解答 解：（1）粒子在电场中做匀加速直线运动，由动能定理有
   qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
又$\frac{q}{m}$=$\frac{U}{2{d}^{2}{B}^{2}}$，
解得 v=$\frac{U}{dB}$；
（2）设粒子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的半径为r，则
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得　r=$\frac{mv}{qB}$=
联立得 r=2d 
设在Ⅱ区内圆周运动的圆心角为θ，则 sinθ=$\frac{d}{r}$=$\frac{d}{2d}$=0.5，
解得  θ=30°
粒子在Ⅱ区运动周期 T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在Ⅱ区运动时间  t=$\frac{θ}{360°}$T=$\frac{30°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2πm}{3qB}$
（3）设粒子在Ⅲ区做圆周运动道半径为R，则  qv•2B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得  R=$\frac{1}{2}r$=d
粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知△MO₂P为等边三角形
粒子离开Ⅲ区域时速度与边界面的夹角  α=60°
答：
（1）粒子离开Ⅰ区域时的速度大小v是$\frac{U}{dB}$；
（2）粒子在Ⅱ区域内的运动时间t是$\frac{2πm}{3qB}$；
（3）粒子离开Ⅲ区域时速度与边界面的夹角α是60°．

点评 粒子在磁场中的运动一定要注意找出圆心和半径，进而能正确的应用好几何关系，则可顺利求解．