Question

13．一水平轨道AB距离地面的高度为H=0.8m，A、B点间的距离为2.5m，一长度合适的薄木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面之间，构成倾角为θ=45°的斜面，如图所示．一质量为m=1kg的小物体，在水平轨道上运动，小物体与轨道AB间的动摩擦因数μ=0.2，设小物体从B点水平抛出时的速度为v_B．（不计空气阻力，不考虑物体碰撞木板或地面后的运动，取g=10m/s²）
（1）为使小物体直接落在水平地面上，v_B至少为多大？
（2）若v_B=1m/s，求小物体落到斜面上时距离B点的距离s₀；
（3）若小物体经过轨道A点时的速度v_A=1m/s，此时，给小物体一水平向右的作用力F，F=3N，为使小物体能落到薄木板上，求F作用在小物体上时间t的范围．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律求解下落时间，再根据水平方向的匀速直线运动求解速度；
（2）若v_B=1m/s，落在斜面上时水平位移与竖直位移相等，根据位移关系求解竖直方向的速度，再根据位移速度关系求解竖直方向的位移，进而求出s₀；
（3）为使小物体能落到薄木板上，物体达到B点的速度范围为0＜v＜2m/s，根据动能定理求解力F的作用距离，再根据牛顿运动定律求解时间．

解答 解：（1）设物体做平抛运动的时间为t₁，则：H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$，
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}s=0.4s$，
水平位移x=H=0.8m，
根据平抛运动规律可得：${v}_{B}=\frac{x}{{t}_{1}}=\frac{0.8}{0.4}m/s=2m/s$，
所以物体的最小速度为2m/s；
（2）若v_B=1m/s，落在斜面上时水平位移与竖直位移相等，则：
$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{2}={v}_{B}{t}_{2}$，
解得：v_y=2v_B=2m/s，
竖直方向的位移为h，则：$h=\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}=\frac{4}{20}m=0.2m$，
则：${s}_{0}=\sqrt{2}h=0.2\sqrt{2}m$；
（3）当物体恰好到达B点时速度为零，力F的作用时间为t_min，作用距离为x₁，
根据动能定理可得：$F{x}_{1}-μmg{L}_{AB}=0-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
解得：x₁=1.5m；
有力F作用时的加速度为：a=$\frac{F-μmg}{m}=\frac{3-2}{1}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
根据位移时间关系可得：${x}_{1}={v}_{A}{t}_{min}+\frac{1}{2}a{t}_{min}^{2}$，
解得：t_min=1s；
当物体到达B点时速度为v=2m/s，力F的作用时间最长为t_max，作用距离为x₂，
根据动能定理可得：$F{x}_{2}-μmg{L}_{AB}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$，
解得：${x}_{2}=\frac{13}{6}m$，
根据位移时间关系可得：${x}_{2}={v}_{A}{t}_{max}+\frac{1}{2}a{t}_{max}^{2}$，
解得：t_max=1.3s，
所以F作用在小物体上时间范围为1s＜t＜1.3s；
答：（1）为使小物体直接落在水平地面上，v_B至少为2m/s；
（2）若v_B=1m/s，求小物体落到斜面上时距离B点的距离为$0.2\sqrt{2}$m；
（3）为使小物体能落到薄木板上，F作用在小物体上时间范围为1s＜t＜1.3s．

点评 本题主要是考查了平抛运动的规律、动能定理和牛顿第二定律的综合应用，知道平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．