Question

12．如图所示，半球形球壳固定在距离水平面一定高度处，两个小球A，B用质量不计的细线连接，其中球A放在球壳的内壁上，球B悬空吊起，将整个装置无初速释放．已知两个小球A、B的质量分别为M、m，且M＞m，重力加速度为g，半球形球亮的半径为R．则当球A运动到球壳的最低点时，两球的速率分别为多大？

Answer 1

分析 将装置由静止释放后，两球构成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律和两球的速度关系列式，从而得到两球到达最低点时速度的表达式．

解答 解：设A球滑到最低点时的速度为v₁，此时B球的速度为v₂．
由系统的机械能守恒得：
  MgR-mg•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$
又因为 v₂=v₁cos45°
由以上两式解得：v₁=$\sqrt{\frac{4（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$，v₂=$\sqrt{\frac{2（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$．
答：当球A运动到球壳的最低点时，A、B两球的速率分别为$\sqrt{\frac{4（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$和$\sqrt{\frac{2（M-\sqrt{2}m）gR}{2M+m}}$．

点评 本题是绳系系统机械能守恒问题，要知道两球沿绳子方向的分速度相等，系统的机械能是守恒的，但对单个小球机械能并不守恒．