Question

17．如图所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子．在放射源右边有一很薄的挡板，挡板与xoy平面交线的两端M、N与原点O正好构成等腰直角三角形．已知带电粒子的质量为m，带电量为+q，速度为υ，MN的长度为L．
（1）若在y轴右侧加一平行于x轴的匀强电场，要使y轴右侧所有运动的粒子都能打到挡板MN上，则电场强度E₀的最小值为多大？在电场强度为E₀时，打到板上的粒子动能为多大？
（2）若在整个空间加一方向垂直纸面向里的匀强磁场，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，磁场的磁感应强度不能超过多少（用m、υ、q、L表示）？若满足此条件，放射源O向外发射出的所有带电粒子中有几分之几能打在板的左边？

Answer 1

分析 （1）要使y轴右侧所有运动粒子都能打在 MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点．根据牛顿第二定律求出电场强度的最小值，根据动能定理求解打到板上粒子的动能．
（2）加匀强磁场后，粒子沿逆时针方向做匀速圆周运动，当轨迹以O′为圆心同时过M、N两点时，轨迹直径最小，得到粒子圆周运动的半径，由牛顿第二定律求出B的最大值．从O点向第四象限发射出的粒子均能打在MN板的左侧，占发射粒子总数的$\frac{1}{4}$．

解答 解：（1）由题意知，要使y轴右侧所有运动粒子都能打在MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作类平抛运动，且落在M或N点．
则M O′=$\frac{1}{2}L=vt$…①
加速度a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$…②
OO′=$\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}a{t}^{2}$…③
解①②③式得
E₀=$\frac{4m{v}^{2}}{qL}$…④
由动能定理知
qE₀×$\frac{1}{2}L$=${E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$…⑤
解④⑤式得：
E_k=$\frac{5}{2}m{v}^{2}$
（2）由题意知，要使板右侧的MN连线上都有粒子打到，粒子轨迹直径的最小值为MN板的长度L．
R₀=$\frac{1}{2}L$=$\frac{mv}{q{B}_{0}}$
B₀=$\frac{2mv}{qL}$
放射源O发射出的粒子中，打在MN板上的粒子的临界径迹如图所示．
因为OM=ON，且OM⊥ON
所以OO₁⊥OO₂
则υ₁⊥υ₂
可知放射源O放射出的所有粒子中只有$\frac{1}{4}$打在MN板的左侧．
答：（1）电场强度E₀的最小值为$\frac{4m{v}^{2}}{qL}$；在电场强度为E₀时，打到板上的粒子动能为$\frac{5}{2}m{v}^{2}$；
（2）放射源O放射出的所有粒子中只有$\frac{1}{4}$打在MN板的左侧．

点评 本题中粒子在电场中做类平抛运动时运用运动的合成和分解法研究，在磁场中要通过画出轨迹，确定临界条件求解磁感应强度．