Question

如图是放置在竖直平面内游戏滑轨的模拟装置，滑轨由四部分粗细均匀的金属杆组成：光滑水平直轨AB，半径分别为R₁=1.0m和R₂=3.0m的光滑弧形轨道，倾斜直轨CD长为L=6m，AB、CD与两圆形轨道相切．有质量为m=2kg的小球穿在滑轨上，小球与CD杆间的动摩擦因数为μ=

1

6

，现给小球v₀=10m/s的初速度从AB的中点E处水平向左开始运动．已知θ=37°，（取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
求：（1）小球第一次通过O₂弧形轨道的最低点F处时对轨道的压力；
（2）小球从E点开始运动后整个运动过程中，经过C 点的次数．

Answer 1

分析：（1）小球从E滑到F过程中，满足机械能守恒，再由牛顿第二定律列出向心力表达式，从而求出小球在最低点F处时对轨道的压力；
（2）由功的表达式求出小球每次克服摩擦力做的功；再由初动能来确定小球能回到E点多少次；由动能定理来求出第7次到达C点的动能，从而可确定小球经过C点的次数．

解答：解：（1）小球从E到B点，再滑到F点的过程中，
根据机械能守恒得：

1

2

mv02+mg△h=

1

2

mvF2
在F点对滑环分析受力，得FN-mg=m

vF2

R2

   
得：FN=

500

3

N
根据牛顿第三定律得小球对轨道的压力为

500

3

N 
（2）小球每通过一次克服摩擦力做功为：W_克=μmgLcosθ=16J
小球恰好越过A点的速度为0，设小球能到达A点的次数为n，则：
Ek0=

1

2

m

v

2 0

n=

Ek0

W克

=6.25
分析可得小球能回到E点6次 
设小球第7次到C点的动能为E_K，
则：EK-

1

2

m

v

2 0

=mg(R1+R1cosθ)-μmgLcosθ
解得：E_K=24J
即小球第7次冲过C点后返回，沿CD段滑下，以后小球再不能达到C点，所以小球共8次经过C点．  
答：：（1）小球第一次通过O₂弧形轨道的最低点F处时对轨道的压力

50

3

N；
（2）小球从E点开始运动后整个运动过程中，经过C点的次数为8次．

点评：本题考查机械能守恒定律、牛顿第二定律、向心力表达式、求功表达式、动能定理等规律，注意第（1）问小球在弧形轨道的最低点F处时对轨道的压力，而不在此处的支持力，所以要用牛顿第三定律，同时在处理第二个问题时，还有一种解法：
第（2）也可以这样解：假设小球到达C点的速度恰好为0时，小球经过CD段的次数为N，则：
   0-

1

2

m

v

2 0

=mg(R1+R1cosθ)-NμmgLcosθ
解得：N=8.5次，
即小球8次经过CD段到达D点，第9次冲上DC 时，没能冲到C点，所以小球共8次经过C点．