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1.如图所示,物体A、B、C的质量均为1kg,其中B、C分别与轻质弹簧的两端连接在一起,将它们静置在地面上,现让A从B正上方5m高处又静止下落,A与B相碰,碰撞时间极短.相碰后两者立即粘在一起向下运动,以后不再分开.当A与B运动到最高点时,弹簧刚好恢复到原长,不计空气阻力,弹簧始终处于弹性限度内,弹簧劲度系数k=6N/m,重力加速度取10m/s2
(1)求A与B相碰后一起向下运动的最大位移;
(2)若A与B运动到最高点时,C对地面刚好无压力,则A应从距B多高处释放?
(3)若A从第(2)问的高度由静止释放,A与B相碰后一起向下运动,但不粘连.求A与B相碰后第一次运动到的最高点与释放点之间的距离.

分析 (1)由共点力的平衡求出弹簧的伸长量,结合运动的状态求出速度最大时的伸长量,然后结合简谐运动的特点,即可求出最大位移.
(2)由机械能守恒定律求出A与B碰前的速度,然后由动量守恒定律求出碰后的共同速度,然后分别对两个过程使用动量守恒定律与机械能守恒即可解答.
(3)在不粘连的情况下,由分离的条件,先计算出分离时的速度,然后又机械能守恒求出分离后A上升的高度,最后即可求出结果.

解答 解:(1)A与B碰撞前弹簧的压缩量△x1,则:$△{x}_{1}=\frac{mg}{k}$=$\frac{1×10}{6}=\frac{5}{3}$m
碰撞后A与B一起向下运动,随弹力的增大,二者向下的加速度减小,当弹簧的弹力与重力大小相等时,速度达到最大,此时:
2mg=k△x2
得:$△{x}_{2}=\frac{2mg}{k}=\frac{2×1×10}{6}=\frac{10}{3}$m
由于A与B在弹簧上做简谐运动,所以可知该简谐运动的振幅:A=△x2=$\frac{10}{3}$m
A与B碰撞后向下的最大位移:$x=2A-△{x}_{1}=2×\frac{10}{3}-\frac{5}{3}=5$m
(2)设物体A碰前速度为v1,对物体A从H0高度处自由下落,
由机械能守恒定律得:MgH0=$\frac{1}{2}$Mv12,解得:v1=$\sqrt{2g{H}_{0}}$.
设A、B碰撞后共同速度为v2,则由动量守恒定律得:
Mv1=2Mv2,v2=$\sqrt{\frac{g{H}_{0}}{2}}$.
A与B运动到最高点时,C对地面刚好无压力,则C受到的弹簧的拉力与C的重力大小相等,方向相反,即:FC=mg
此时弹簧的伸长量:$△{x}_{3}=\frac{{F}_{C}}{k}=\frac{mg}{k}=△{x}_{1}$,所以此时弹簧的弹性势能与刚刚碰撞时弹簧的弹性势能是相等的;
A与B运动到最高点时上升的高度:$△h=△{x}_{1}+△{x}_{3}=2△{x}_{1}=\frac{10}{3}$m
以开始时B的位置处为重力势能的0势能点,由机械能守恒得:
$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}+{E}_{P}+0=0+{E}_{P}+2mg•△h$
得:${v}_{2}=\sqrt{2g△h}$
所以:${H}_{0}=4△h=4×\frac{10}{3}=\frac{40}{3}$m
(3)若不粘连A与B相碰后将在向上运动的过程中二者分离,分离时,二者的速度和加速度都相等,二者之间的作用力恰好等于0,所以分离后A只受到重力的作用,加速度的大小为g.则B的加速度也是g,所以分离时,弹簧恰好处于原长的状态.
以开始时B的位置处为重力势能的0势能点,碰撞后此后A与B运动的过程中,A第一种情况下,A与B到达最高点时,弹簧的长度等于原长,则弹性势能为0,所以:
A下降的过程中机械能守恒,得:Mgh=$\frac{1}{2}$Mv102
解得:v10=$\sqrt{2gh}=\sqrt{2×10×5}=10$m/s
设A、B碰撞后共同速度为v20,则由动量守恒定律得:
Mv10=2Mv20
v20=$\frac{1}{2}{v}_{10}=5$m/s
$\frac{1}{2}•2m{v}_{20}^{2}+{E}_{P}+0=0+0+2mg•△{x}_{1}$,
代入数据得:${E}_{P}=\frac{25}{3}$J
第2中情况下,碰撞后此后A与B运动的过程中,A、B与弹簧组成的系统机械能守恒,当二者分离时,弹簧的长度等于原长,则弹性势能为0,设此时二者的速度为v,得:$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}+{E}_{P}+0=\frac{1}{2}•2m{v}^{2}+0+2mg•△{x}_{1}$,
代入数据整理得:$v=5\sqrt{\frac{5}{3}}$m/s
A与B分离后向上做竖直上抛运动,升高的高度:$H=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{\frac{125}{3}}{2×10}=\frac{125}{60}$m
A与B相碰后第一次运动到的最高点与释放点之间的距离:$△H={H}_{0}-H-△{x}_{1}=\frac{40}{3}-\frac{125}{60}-\frac{5}{3}=\frac{125}{12}$m
答:(1)A与B相碰后一起向下运动的最大位移是5m;
(2)若A与B运动到最高点时,C对地面刚好无压力,则A应从距B$\frac{40}{3}$m高处释放;
(3)A从第(2)问的高度由静止释放,A与B相碰后一起向下运动,但不粘连.A与B相碰后第一次运动到的最高点与释放点之间的距离是$\frac{125}{12}$m.

点评 该题涉及的运动过程比较多,一定要分析清楚物体的运动过程,应用机械能守恒定律、牛顿定律、平衡条件即可正确解题.

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