Question

[选做题]]如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离 l=0.50m．轨道的MM′端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为 R₀=0.50m．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64T的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m，且其右边界与NN′重合．现有一质量 m=0.20kg、电阻 r=0.10Ω的导体杆ab静止在距磁场的左边界s=2.0m处．在与杆垂直的水平恒力 F=2.0N的作用下ab杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体ab恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP′．已知导体杆ab在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab与直轨道之间的动摩擦因数 μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取 g=10m/s²，求：
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热．

Answer 1

（1）设导体杆在 F 的作用下运动到磁场的左边界时的速度为v₁，
根据动能定理则有（F-μmg）s=

1

2

mv₁²
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势 E=Blv₁
此时通过导体杆的电流大小 I=

E

R+r

=3.8A（或3.84A）
根据右手定则可知，电流方向为 b 向 a．
（2）设导体杆在磁场中运动的时间为 t，产生的感应电动势的平均值为

.

E

，
则由法拉第电磁感应定律有 

.

E

=

△?

t

=

Bld

t

通过电阻 R 的感应电流的平均值为

.

I

=

. E

R+r

 
通过电阻 R 的电荷量 q=

.

I

t=0.51C
（3）设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃，
因导体杆恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点，根据牛顿第二定律，
对导体杆在轨道最高点时有 mg=

mv32

R0

对于导体杆从NN′运动至 PP′的过程，根据机械能守恒定律有

1

2

mv₂²=

1

2

mv₃²+mg2R₀ 解得 v₂=5.0m/s
导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能△E=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₂²=1.1J
此过程中电路中产生的焦耳热为 Q=△E-μmgd=0.94J．
答：（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3.8A，方向为 b 向 a；
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量为0.51C；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热为0.94J．