Question

“嫦娥一号”卫星是在绕月球的极地轨道上运动，能探测到整个月球表面的情况．已知卫星在绕月极地轨道上做圆周运动时，距月球表面高为H₁，绕行的周期为T₁；月球绕地球公转的周期为T，半径为R；地球半径为R₀，月球半径为R₁，忽略地球及太阳引力对绕月卫星的影响．试解答下列问题：
（1）卫星绕月球运动时的速度大小；
（2）月球表面的重力加速度；
（3）月球与地球质量比．

Answer 1

分析：1、卫星绕月球做匀速圆周运动，根据线速度与周期的关系得v卫=

2πr

T1

，代入数据化简即可．
2、月球对卫星的万有引力提供卫星绕月球做匀速圆周运动的向心力G

M月m卫

(R1+H1)2

=m卫(R1+H1)(

2π

T1

)2，由于在月球表面的物体受到的重力等于万有引力G

M月m

R12

=mg月，联立二式可解得月球表面的重力加速度．
3、月球绕地球公转时由地球对月球的万有引力提供向心力，故G

M地M月

R2

=M月R(

2π

T

)2．同理探月卫星绕月有：G

M月M卫

(R1+H1)2

=M卫(R1+H1)(

2π

T1

)2，联立二式可计算月球与地球的质量之比．

解答：解：（1）卫星绕月球做匀速圆周运动，根据线速度与周期的关系得v卫=

2πr

T1

=

2π(R1+H1)

T1

（2）卫星绕月球做匀速圆周运动，月球对卫星的万有引力提供向心力G

M月m卫

(R1+H1)2

=m卫(R1+H1)(

2π

T1

)2
在月球表面的物体受到的重力等于万有引力G

M月m

R12

=mg月
联立解得：g_月=

4π2(R1+H1)3

R12T12

（3）月球绕地球公转时由地球对月球的万有引力提供向心力，故
G

M地M月

R2

=M月R(

2π

T

)2
同理探月卫星绕月有：
G

M月M卫

(R1+H1)2

=M卫(R1+H1)(

2π

T1

)2
联立解得

M月

M地

=(

R1+H1

R

)3(

T

T1

)2
答：（1）卫星绕月球运动时的速度大小为

2π(R1+H1)

T1

；
（2）月球表面的重力加速度为

4π2(R1+H1)3

R12T12

；
（3）月球与地球质量比为(

R1+H1

R

)3(

T

T1

)2．

点评：本题要求能熟练应用万有引力公式、牛顿第二定律，特别要掌握两个关系：环绕天体绕中心天体做圆周运动的时，万有引力提供向心力；星球表面的物体受到的重力等于万有引力．