Question

8．为测定物块与木板间的动摩擦因数，小明同学设计了如图所示的实验装置．木板的倾角为θ，弹簧的一端固定在木板上，另一端位于木板上的B点．物块在木板上A点静止释放后沿木板滑下，压缩弹簧运动至C点后被弹回，上滑至D点时速度为零．测得AB间的距离为x₁、BC间的距离为x₂，BD间的距离为x₃．实验中的弹簧可视为轻质弹簧．
（1）若某次实验测得x₁=40cm、x₂=5cm、x₃=25cm、θ=45°，求物块与木板间的动摩擦因数．
（2）实验完成后，小明同学还想进一步做点研究．他提出了如下两个问题：
①若已经测得物块与木板间的动摩擦因数为?，还知道物块质量为m，能否通过运算，写出弹簧压缩至C点时弹性势能的表达式呢？（用字母表示） 
②若已知弹性势能公式为E_p=$\frac{1}{2}$kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，物体在下滑过程中的最大速度又如何表达呢？（用字母表示）
你能帮助他解决上述问题吗？

Answer 1

分析 （1）对ACD过程由动能定理进行分析，则可求得动摩擦因数；
（2）由功能关系可得出弹性势能的表达式；由题意可知达到最大速度时，合外力为零；再由动能定理可分析最大速度的表达式．

解答 解：（1）对ACD过程应用动能定理有：
mgsinθ（x₁-x₃）-μmg（x₁+2x₂+x₃）=0
解得：μ=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{3}）sinθ}{（{x}_{1}+2{x}_{2}+{x}_{3}）cosθ}$=$\frac{（0.4-0.25）×\frac{\sqrt{2}}{2}}{（0.4+0.1+0.25）×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=0.2；
（2）①对AC过程，应用功能关系：
E_P=（mgsinθ-μmgcosθ）（x₁+x₂）
②当物体的速度达最大时满足：
mgsinθ-μmgcosθ=kx
应用动能定理有：
（mgsinθ-μmgcosθ）（x₁+x）-$\frac{1}{2}$kx²=$\frac{1}{2}$mv_m²
解得最大速度为：v_m=$\sqrt{2g（sinθ-μcosθ）（{x}_{1}+\frac{（mgsinθ-μmgcosθ）}{k}）-\frac{m{g}^{2}}{k}（sinθ-μcosθ）^{2}}$
答：（1）物块与木板间的动摩擦因数为0.2；
（2）最大速度为$\sqrt{2g（sinθ-μcosθ）（{x}_{1}+\frac{（mgsinθ-μmgcosθ）}{k}）-\frac{m{g}^{2}}{k}（sinθ-μcosθ）^{2}}$．

点评 本题考查了受力分析、判断物块动能如何变化、求动摩擦因数，分析清楚物体的运动过程、从能量角度分析问题、应用动能定理即可正确解题．