Question

如图所示，质量为m的小球自由下落高度R后沿竖直平面内的轨道ABC运动．AB是半径为R的

1

4

粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C点时对轨道的压力恰为零．B是轨道最低点，求：
（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功．
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比．

Answer 1

分析：（1）小球运动到C点时对轨道的压力恰为零，由重力提供小球的向心力．小球由静止释放到C点过程，重力和摩擦力做功，根据动能定理求解小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功．
（2）根据动能定理求出经过B点时的速度大小，根据牛顿运动定律分别求出小球经B点前、后瞬间对轨道的压力大小，再求解压力之比．

解答：解：（1）小球在C点：根据牛顿第二定律得
   mg=m

v 2 C

R 2

小球由静止释放到C点过程，据动能定理得
  mgR+W_f=

1

2

mv_C²
联立解得W_f=-

3

4

mgR    
（2）小球由静止释放到B点过程，据动能定理得
  2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B点前瞬间据牛顿第二定律得
   F_N前-mg=m

v 2 B

R

在B点后瞬间据牛顿第二定律得
   F_N后-mg=m

v 2 B

R 2

由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力大小．
联立解得 F_N前：F _N后=7：12   
答：
（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功为-

3

4

mgR．
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比为7：12．

点评：本题是动能定理与向心力知识的综合，小球恰好通过圆轨道最高点时临界速度要会用牛顿第二定律进行推导．小球经过B点前后，由于轨道半径变化，导致向心力变化，轨道所受的压力大小也发生了变化．