Question

19．如图所示，质量为M=4kg的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧底部与桌面相切．滑块左侧是以光滑的圆弧，圆弧半径为R=2m，一个质量为 m=2kg的小球以速度v₀向右冲上滑块．设小球恰好到达滑块的$\frac{1}{4}$圆弧的上端．g=10kg/s²．求：
（1）小球的初速度v₀是多少？
（2）滑块获得的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）小球刚好没跃出圆弧的上端，知小球上升到滑块上端时，小球与滑块水平方向速度相同，结合动量守恒和系统机械能守恒求出小球的初速度大小．
（2）小球到达最高点以后又滑回，滑块又做加速运动，当小球离开滑块后滑块速度最大，根据动量守恒和能量守恒求出滑块的最大速度．

解答 解：（1）当小球上升到滑块上端时，小球与滑块水平方向速度相同，设为v₁，以小球的初速度方向为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v₁…①
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²+mgR  …②，
代入数据解得：v₀=2$\sqrt{15}$m/s   …③；
（2）小球到达最高点以后又滑回，滑块又做加速运动，当小球离开滑块后滑块速度最大．研究小球开始冲上滑块一直到离开滑块的过程，以小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=mv₂+Mv₃…④
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₂²+$\frac{1}{2}$Mv₃²…⑤
解得：v₃=$\frac{2m}{m+M}$v₀=$\frac{4\sqrt{15}}{3}$m/s…⑥
答：（1）小球的初速度v₀是2$\sqrt{15}$m/s．
（2）滑块获得的最大速度是$\frac{4\sqrt{15}}{3}$m/s．

点评 本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及能量守恒定律等，知道小球刚好没跃出圆弧的上端，两者水平方向上的速度相同；当小球返回离开滑块时，滑块的速度最大．