Question

如图1所示，M、N为竖直放置的平行金属板，两板间所加电压为U₀，S₁、S₂为板上正对的小孔。金属板P和Q水平放置在N板右侧，关于小孔S₁、S₂所在直线对称，两板的长度和两板间的距离均为l；距金属板P和Q右边缘l处有一荧光屏，荧光屏垂直于金属板P和Q；取屏上与S₁、S₂共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴。M板左侧电子枪发射出的电子经小孔S₁进入M、N两板间。电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。不计电子重力和电子之间的相互作用。

（1）求电子到达小孔S₂时的速度大小v；

（2）若板P、Q间只存在垂直于纸面向外的匀强磁场，电子刚好经过P板的右边缘后，打在荧光屏上。求磁场的磁感应强度大小B和电子打在荧光屏上的位置坐标x；

（3）若金属板P和Q间只存在电场，P、Q两板间电压u随时间t的变化关系如图2所示，单位时间内从小孔S₁进入的电子个数为N。电子打在荧光屏上形成一条亮线。忽略电场变化产生的磁场；可以认为每个电子在板P和Q间运动过程中，两板间的电压恒定。

a. 试分析在一个周期（即2t₀时间）内单位长度亮线上的电子个数是否相同。

b. 若在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同，求2t₀时间内打到单位长度亮线上的电子个数n；若不相同，试通过计算说明电子在荧光屏上的分布规律。

Answer 1

（1）根据动能定理

                                               【3分】         

   解得：  ①                                   【3分】

（2）电子在磁场中做匀速圆周运动，设圆运动半径为 R，在磁场中运动轨迹如图，由几何关系

          

解得：                【2分】

根据牛顿第二定律：    【1分】

解得：            【1分】

设圆弧所对圆心为α，满足： 

由此可知：  

电子离开磁场后做匀速运动，满足几何关系：   【1分】

通过上式解得坐标                                  【1分】

（3）

a. 设电子在偏转电场PQ中的运动时间为t₁，PQ间的电压为u

垂直电场方向：  ②          

平行电场方向：  ③              

此过程中电子的加速度大小   ④   

       ①、②、③、④联立得：       【1分】

电子出偏转电场时，在x方向的速度   

  ⑤             

电子在偏转电场外做匀速直线运动，设经时 间t₂到达荧光屏。则

水平方向：  ⑥         

 竖直方向：  ⑦

①    、⑤、⑥、⑦ 联立，解得：              【1分】          

      电子打在荧光屏上的位置坐标 ⑧     【1分】

对于有电子穿过P、Q间的时间内进行讨论：

由图2可知，在任意时间内，P、Q间电压变化相等。

由⑧式可知，打在荧光屏上的电子形成的亮线长度。

所以，在任意时间内，亮线长度相等。

由题意可知，在任意时间内，射出的电子个数是相同的。也就是说，在任意时间内，射出的电子都分布在相等的亮线长度范围内。因此，在一个周期内单位长度亮线上的电子个数相同。       【1分】

b. 现讨论2t₀时间内，打到单位长度亮线上的电子个数：

当电子在P、Q电场中的侧移量x₁=时，

由得：u=2U₀                                 【1分】

当偏转电压在0~±2U₀之间时，射入P、Q间的电子可打在荧光屏上。

由图2可知，一个周期内电子能从P、Q电场射出的时间

所以，一个周期内打在荧光屏上的电子数         【1分】

由⑧式，电子打在荧光屏上的最大侧移量

亮线长度L=2x_m=3l                                       【1分】

      所以，从0~2t₀时间内，单位长度亮线上的电子数

                                         【1分】