Question

17．如图1所示的平行板电容器，板间距为d，两板所加电压随时间的变化如图2所示，t=0时刻，质量为m、带电量为q的粒子以平行于极板的速度v₀射入电容器，t=3T时斜射出电容器，不计带电粒子的重力，求：
（1）平行板电容器板长L；
（2）粒子射出电容器时速度方向偏转的角度的正切值；
（3）粒子射出电容器时垂直极板方向偏转的距离y．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中受电场力作用做匀加速直线运动，在垂直电场方向粒子做匀速直线运动，根据运动的合成与分解求解板长L；
（2）根据电压随时间变化的图象知，在T-2T时间内板间无电场，粒子不受力做匀速直线运动，根据运动的合成与分解求解粒子在电场中偏转的倾角；
（3）同样根据有电场时粒子在竖直方向做匀加速直线运动，没有电场时在竖直方向做匀速运动，分三段考虑粒子偏转的位移．

解答 解：（1）带电粒子在电场中运动的时间t=3T，由题意知，带电粒子在电场方向上做匀变速运动，在垂直电场方向上不受力做匀速直线运动，所以有：
平行板电容器极板长度L=v₀t=3v₀T
（2）粒子在电容器中运动时，在电场方向做匀加速运动，在垂直电场方向做匀速直线运动，根据电场图象可知：
在0-T的时间里，粒子在电场方向（垂直板的方向）做匀加速运动，加速度a=$\frac{F}{m}=\frac{qU}{md}$，初速度为0，末速度为aT
在T-2T时间里，粒子不受电场力作用（垂直板的方向）粒子做速度v=aT的匀速直线运动
在2T-3T时间里，粒子在电场方向做初速度v=aT的匀加速直线运动，加速度a=$\frac{qU}{md}$则末速度为2aT
所以粒子在垂直板的方向即y方向的末速度为v_y=2aT=2$\frac{qU}{md}$
粒子在平行板的方向即x方向的末速度v_x=v₀
射出电容器时，偏转角度为φ，则tgφ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$
（3）由（2）分析知，粒子在0～T，垂直板的方向做初速度为0的匀加速直线运动，加速度a=$\frac{qU}{md}$，时间t=T，所以在y方向偏转的位移
${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{qU}{md}•{T}^{2}$
T～2T，垂直板的方向做初速度v=aT的匀速直线运动，则在y方向偏转的位移${y}_{2}=vT=aT•T=\frac{qU}{md}{T}^{2}$；
2T～3T，垂直板的方向做初速度v=aT，加速度a=$\frac{qU}{md}$的匀加速直线运动，故在y方向偏转的位
${y}_{3}=vT+\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}=aT•T+\frac{1}{2}a{T}^{2}$=$\frac{3}{2}•\frac{qU}{md}•{T}^{2}$
所以在粒子射出电场的3T时间内竖直方向偏转的位移$y={y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}=\frac{3qU}{md}•{T}^{2}$
答：（1）平行板电容器板长是3v₀T；
（2）粒子从射入到射出电容器时速度偏转的角度的正切值$\frac{2qUT}{md{v}_{0}}$；
（3）粒子从射入到射出电容器时竖直方向偏转的位移$\frac{3qU}{md}•{T}^{2}$．

点评 根据运动的合成与分解，分析粒子在竖直方向多过程的位移和速度，是解决本题的关键．