Question

9．如图所示，一个带$\frac{1}{4}$圆弧轨道的平台固定在水平地面上，光滑圆弧MN的半径为R=3.2m，水平部分NP长L=3.5m，物体B静止在足够长的平板小车C上，B与小车的接触面光滑，小车的左端紧贴平台的右端．从M点由静止释放的物体A滑至轨道最右端P点后再滑上小车，物体A滑上小车后若与物体B相碰必粘在一起，它们间无竖直作用力．A与平台水平轨道和小车上表面的动摩擦因数都为0.4，且最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．物体A、B和小车C的质量均为1kg，取g=10m/s²．求：
（1）物体A进入N点前瞬间对轨道的压力大小？
（2）物体A在NP上运动的时间？
（3）物体A最终离小车左端的距离为多少？

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出A到达N点的速度，然后由牛顿第二定律求物体A进入N点所受的支持力，进而由牛顿第三定律求物体对轨道N的压力；
（2）由牛顿第二定律和位移时间公式求物体在NP上运动的时间；
（3）小车、物体A、B组成系统满足动量守恒，然后结合动能定理和运动学公式列方程联立求解．

解答 解：（1）物体A由M到N过程中，由动能定理得：
m_AgR=$\frac{1}{2}$m_Av_N²
在N点，由牛顿定律得
F_N-m_Ag=m_A$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
由①、②得F_N=3m_Ag=30N
由牛顿第三定律得，物体A进入轨道前瞬间对轨道压力大小为：F_N′=3m_Ag=30N
（2）物体A在平台上运动过程中
μm_Ag=m_Aa
L=v_Nt-$\frac{1}{2}$at²
由①、⑤、⑥式得 t=0.5s    t=3.5s（不合题意，舍去）
（3）物体A刚滑上小车时速度  v₁=v_N-at=6m/s
从物体A滑上小车到相对小车静止过程中，小车、物体A组成系统动量守恒，而物体B保持静止
（m _A+m_C）v₂=m_Av₁
小车最终速度   v₂=3m/s
此过程中A相对小车的位移为L₁，则$μmg{L_1}=\frac{1}{2}m{v_1}^2-\frac{1}{2}×2m{v_2}^2$解得：L₁=$\frac{9}{4}m$
物体A与小车匀速运动直到A碰到物体B，A，B相互作用的过程中动量守恒：
（m _A+m_B）v₃=m_Av₂
此后A，B组成的系统与小车发生相互作用，动量守恒，且达到共同速度v₄
（m _A+m_B）v₃+m_Cv₂=（m_A+m_B+m_C） v₄
此过程中A相对小车的位移大小为L₂，则$μmg{L_2}=\frac{1}{2}m{v_2}^2+\frac{1}{2}×2m{v_3}^2-\frac{1}{2}×3m{v_4}^2$
解得：L₂=$\frac{3}{16}m$
物体A最终离小车左端的距离为x=L₁-L₂=$\frac{33}{16}m$
答：（1）物体A进入N点前瞬间对轨道的压力大小为30N；
（2）物体A在NP上运动的时间为0.5s；
（3）物体A最终离小车左端的距离为$\frac{33}{16}m$

点评 本题综合运用了牛顿第二定律、动能定理、运动学公式、动量守恒定律，综合性较强，要求能正确分析题意，明确物理过程做好受力分析，然后再选择合适的物理规律求解即可．