Question

一传送带装置示意如图所示，其中传送带经过ＡＢ区域时是水平的，经过ＢＣ区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过ＣＤ区域时是倾斜的，ＡＢ和ＣＤ都与ＢＣ相切. 现将大量的质量均为ｍ的小货箱一个一个在Ａ处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到Ｄ处，Ｄ和Ａ的高度差为ｈ. 稳定工作时传送带速度不变，ＣＤ段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为Ｌ . 每个箱子在Ａ处投放后，在到达Ｂ之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经ＢＣ段时的微小滑动）. 已知在一段相当长的时间Ｔ内，共运送小货箱的数目为Ｎ . 这种装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，求电动机的平均输出功率Ｐ

Answer 1

解析:

以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为ｖ₀，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下作初速度为零的匀加速运动，设这段路程为S，所用时间为ｔ，加速度为ａ，则对小货箱有①，ｖ₀＝ａｔ②，在这段时间内，传送带运动的路程为S₀＝ｖ₀ｔ③，由①②③式可得S₀＝2S④，用ｆ表示小货箱与传送带之间的摩擦力，则传送带对小货箱做功为Ｗ＝ｆｓ＝⑤，传送带克服小货箱对它的摩擦力做功为Ｗ₀＝ｆS₀＝2×＝ｍｖ₀²⑥，两者之差就是克服摩擦力做功产生的热量Ｑ＝ｍｖ₀²⑦.

    可见，在小货箱加速运动过程中，小货箱获得的动能与发热量相等．Ｔ时间内电动机输出的功为Ｗ＝ＰＴ⑧，此功用于增加小货箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即Ｗ＝Ｎｍｖ₀²＋Ｎｍｇｈ＋ＮＱ⑨，已知相邻两小货箱的距离为Ｌ，所以由题意可知ｖ₀Ｔ＝ＮＬ⑩，联立⑦～⑩得