Question

1．太阳系中的九大行星绕太阳公转的轨道均可视为圆，不同行星的轨道平面均可视为同一平面．如图所示，当地球外侧的行星运动到日地连线上，且和地球位于太阳同侧时，与地球的距离最近，我们把这种相距最近的状态称为行星与地球的“会面”．若每过N₁年，木星与地球“会面”一次，每过N₂年，天王星与地球“会面”一次，则木星与天王星的公转轨道半径之比为（　　）

• A． [$\frac{{N}_{1}（{N}_{2}-1）}{{N}_{2}（{N}_{1}-1）}$]${\;}^{\frac{2}{3}}$
• B． [$\frac{{N}_{2}（{N}_{1}-1）}{{N}_{1}（{N}_{2}-1）}$]${\;}^{\frac{2}{3}}$
• C． [$\frac{{N}_{1}（{N}_{1}-1）}{{N}_{2}（{N}_{2}-1）}$]${\;}^{\frac{2}{3}}$
• D． [$\frac{{N}_{2}（{N}_{2}-1）}{{N}_{1}（{N}_{1}-1）}$]${\;}^{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 行星的轨道半径越大，由开普勒第三定律知其周期长，其绕太阳转得慢．设每过N年，该行星与地球会面一次，说明N年地球比行星多转1圈，即行星转了N-1圈，从而可以求出行星的周期，再由开普勒第三定律求解该行星与地球的公转半径比，即可求解．

解答 解：每过N₁年，木星与地球“会面”一次，则N₁年内地球比木星多转一周，木星转了N₁-1圈，设地球自转周期为T，则木星的周期为 T_木=$\frac{{N}_{1}T}{{N}_{1}-1}$
同理可得，天王星的周期为 T_天=$\frac{{N}_{2}T}{{N}_{2}-1}$
根据开普勒第三定律得
  $\frac{{R}_{木}^{3}}{{R}_{天}^{3}}$=$\frac{{T}_{木}^{2}}{{T}_{天}^{2}}$
联立解得 $\frac{{R}_{木}}{{R}_{天}}$=[$\frac{{N}_{1}（{N}_{2}-1）}{{N}_{2}（{N}_{1}-1）}$]${\;}^{\frac{2}{3}}$
故选：A

点评 解答此题的关键由题意分析得出每过N年地球比行星多围绕太阳转一圈，由此求出行星的周期，再由开普勒第三定律研究．