Question

11．一次消防演练中，消防员需从高楼阳台上，利用绳索下滑到地面，绳索两端固定好后成直线，与竖直方向的夹角θ=30°，为保证行动迅速，队员甲先匀加速滑到某最大速度，再靠手摩擦匀减速滑至地面，速度刚好为零，在队员甲开始下滑时，队员乙在阳台上同时开始向地面以速度v₀=2m/s平抛救生垫，第一个救生垫刚落到绳下端地面，接着抛第二个，结果第二个救生垫刚好与甲队员同时抵达地面，若队员甲的质量m，重力加速度g=10m/s²，忽略空气的阻力，忽略人的高度．问：
（1）高楼阳台到地面的竖直高度H=？
（2）若加速过程与减速过程中的加速度大小相等，则队员甲运动最大速度为多少？
（3）如第（2）问中的减速过程中，队员甲受的摩擦力大小？

Answer 1

分析 （1）对平抛运动过程根据分运动公式列式求解；
（2）队员的运动是先加速后减速，根据运动学公式列式求解；
（3）对减速过程受力分析后根据牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）由救生垫平抛运动，设绳长L，根据平抛运动的分运动公式，有：
Lcosθ=$\frac{1}{2}g（\frac{{t}_{0}}{2}）^{2}$ 
Lsinθ=v₀$\frac{{t}_{0}}{2}$
解得：t₀=1.8s．故
L=$\frac{54}{5}\sqrt{3}$m
由H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：H=2.4m
（2）根据题意，加速与减速有相同的位移，所以在绳的中点时速度最大．
由$\frac{L}{2}=\frac{0+{v}_{m}}{2}{t}_{0}$得：v_m=4m/s 
（3）设加速度大小为a，加速度运动中：
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}_{0}^{2}$
a=$\frac{L}{{t}_{0}^{2}}$=$\frac{10}{3}\sqrt{3}$m/s²
受力分析有：
f-mgcosθ=ma
f=$\frac{5\sqrt{3}}{6}mg$
答：
（1）高楼阳台到地面的竖直高度H为2.4m，队员甲在绳索上运动的时间t₀为1.8s；
（2）若加速过程与减速过程中的加速度大小相等，则队员甲在绳的中点时速度最大；最大速度为4m/s；
（3）如第（2）问中的减速过程中，队员甲受的摩擦力大小为$\frac{5\sqrt{3}}{6}mg$．

点评 考查如何处理平抛运动的常规方法，及运动学公式，并涉及到动能定理的理解．注意甲在何处速度达到最大是本题的关键之处．