Question

1．美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登录火星．荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星，创建一块长期殖民地．若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是（　　）

• A． 在火星表面使一个小球作自由落体运动，测出落下的高度H和时间t、T
• B． 火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
• C． 火里探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度h和运行周期T
• D． 观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的直径D和运行周期T

Answer 1

分析 求火星的密度就是要求出火星的质量和体积，求火星的质量可以根据万有引力提供圆周运动向心力及万有引力与重力相等来求，再根据密度公式求解火星的密度．

解答 解：A、根据H和t可以求得火星表面的重力加速度g=$\frac{2H}{{t}^{2}}$，据G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$可得$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$
根据密度公式$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3g}{4πGR}$，仅知道重力加速度而不知火星的半径不能求出火星的密度，故A错误；
B、令火星半径为R，则根据万有引力提供圆周运动向心力G$\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
可得火星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，根据密度公式可知$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，故可以测出贴近表面飞行的卫星周期来求得火星的密度，故B正确；
C、根据万有引力提供圆周运动向心力，由于不知道火星的半径从而无法求得火星的密度，故C错误；
D、根据万有引力提供圆周运动向心力可以计算中心天体的质量，而火星绕太阳圆周运动不能求得火星的质量，故无法计算火星的密度，所以D错误．
故选：B

点评 掌握万有引力提供圆周运动向心力和万有引力等于重力这两种计算中心天体质量的方法是解决问题的关键．