Question

7．如图1所示，由足够长的平行金属轨道ce、df确定的平面与水平面间的夹角为θ=60°，c、d端接有阻值为R的电阻，导体棒ab垂直于轨道放置在轨道上．轨道间距离为L，轨道间垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图2所示.0-t₁时间内，棒ab静止在轨道上，且t₁时刻恰好要沿轨道滑动，棒ab与cd端的距离为L．棒ab与两轨道接触良好，且其沿轨道下滑过程中始终与轨道垂直，轨道和棒的电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）棒ab与轨道间的动摩擦因数；
（2）电阻R上的最大电功率和棒获得的最大速度．

Answer 1

分析 （1）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，应用安培力公式求出安培力，然后应用平衡条件求出动摩擦因数．
（2）当导体棒匀速运动时导体棒的速度最大，应用安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出最大速度，应用电功率公式求出最大电功率．

解答 解：（1）由法拉第电磁感应定律可知，在0-t₁内产生的感应电动势：
$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B•S}{△t}$=$\frac{（4{B}_{0}-{B}_{0}）×{L}^{2}}{{t}_{1}}$=$\frac{3{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{1}}$，
感应电流：$\overline{\;}$$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$=$\frac{3{B}_{0}{L}^{2}}{R{t}_{1}}$，
t₁时刻，导体棒受到的安培力：F=BIL=4B₀$\overline{I}$L=$\frac{12{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{R{t}_{1}}$，
由平衡条件得：mgsin60°+μmgcos60°=$\frac{12{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{R{t}_{1}}$，
解得，动摩擦因数：μ=$\frac{24{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{R{t}_{1}mg}$-$\sqrt{3}$；
（2）导体棒匀速运动时速度最大，
安培力：F_安培=BIL=4B₀×$\frac{4{B}_{0}Lv}{R}$×L=$\frac{16{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
导体棒匀速运动，由平衡条件得：
mgsin60°=$\frac{16{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmgcos60°，
解得，最大速度：v=$\frac{\sqrt{3}mgR}{16{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$-$\frac{3L}{4{t}_{1}}$，
感应电动势：E=4B₀Lv=$\frac{\sqrt{3}mgR}{4{B}_{0}L}$-$\frac{3{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{1}}$，
最大电功率：P=$\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{1}{R}$（$\frac{\sqrt{3}mgR}{4{B}_{0}L}$-$\frac{3{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{1}}$）²，
答：（1）棒ab与轨道间的动摩擦因数为$\frac{24{B}_{0}^{2}{L}^{3}}{R{t}_{1}mg}$-$\sqrt{3}$；
（2）电阻R上的最大电功率为：$\frac{1}{R}$（$\frac{\sqrt{3}mgR}{4{B}_{0}L}$-$\frac{3{B}_{0}{L}^{2}}{{t}_{1}}$）²，棒获得的最大速度为$\frac{\sqrt{3}mgR}{16{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$-$\frac{3L}{4{t}_{1}}$．

点评 本题考查了求动摩擦因数、速度与功率问题，对导体棒正确受力分析，应用平衡条件、E=BLv、电功率公式即可解题．