Question

3．宇宙中存在着这样一种四星系统，这四颗星的质量相等，远离其他恒星，因此可以忽略其他恒星对它们的作用，四颗星稳定地分布在一个正方形的四个顶点上，且均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，假设每颗星的质量为m，正方形的边长为L，每颗星的半径为R，引力常量为G，则（　　）

• A． 每颗星做圆周运动的半径为$\frac{1}{2}$L
• B． 每颗星做圆周运动的向心力为$\frac{{（{1+\sqrt{2}}）G{m^2}}}{{2{L^2}}}$
• C． 每颗星表面的重力加速度为$\frac{Gm}{R^2}$
• D． 每颗星做圆周运动的周期为$2π\sqrt{\frac{{\sqrt{2}{L^3}}}{{（1+2\sqrt{2}）Gm}}}$

Answer 1

分析 星体做匀速圆周运动的轨道半径等于正方形对角线的一半．
根据万有引力等于重力求出星体表面的重力加速度．
在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，列出等式求出星体匀速圆周运动的周期．

解答 解：A、由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径
   r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，故A错误；
B、星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：
F_合=$\frac{{Gm}^{2}}{{（\sqrt{2}L）}^{2}}$+2$\frac{{Gm}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
T=$2π\sqrt{\frac{{\sqrt{2}{L^3}}}{{（1+2\sqrt{2}）Gm}}}$，故B错误，D正确；
C、根据万有引力等于重力得：$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$=m′g
解得：g=$\frac{Gm}{R^2}$，故C正确；
故选：CD．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力$\frac{Gmm′}{{R}^{2}}$=m′g，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．