Question

11．如图所示，以A、B为端点的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道固定于竖直平面，一足够长滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与圆弧轨道相切与B点，离滑板右端L₀=$\frac{R}{2}$处由一竖直固定的挡板P，一物块从A点由静止开始沿轨道滑下，经B滑上滑板，已知物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，圆弧轨道半径为R，物块与滑板间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度为g，物块离开B点后立即将光滑圆弧轨道移走，滑板与挡板的碰撞没有机械能损失，求：

（1）物块滑到轨道B处时对轨道的压力F_N；
（2）滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小为v；
（3）运动过程中系统产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求得在B处的速度，然后应用牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据受力情况得到物块和滑板的加速度，进而求得达到共同速度所需时间及滑板向右运动的位移，即可判断运动状态进而求得碰前速度；
（3）根据机械能守恒得到碰后速度，然后由动量守恒求得最终共同速度，即可由能量守恒求得热量．

解答 解：（1）物块在光滑圆弧轨道上运动只有重力做功，机械能守恒，故有：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{2gR}$；
那么对物块在B点应用牛顿第二定律可得：支持力${F}_{N}′=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=3mg$，方向竖直向上；
故由牛顿第三定律可得：物块滑到轨道B处时对轨道的压力F_N=F_N′=3mg，方向竖直向下；
（2）物块滑上滑板后，在两者间摩擦力作用下，物块向右做匀减速运动，加速度${a}_{1}=μg=5m/{s}^{2}$，滑板向右做匀加速运动，加速度${a}_{2}=\frac{μmg}{M}=2.5m/{s}^{2}$；
故两者要达到共同速度，需要经过时间$t=\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}+{a}_{2}}=\frac{\sqrt{2gR}}{7.5}s$，那么，滑板向右运动的位移$s=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{4}{9}R＜{L}_{0}$，故滑板与挡板P碰撞前物块和滑板达到共同速度$v={v}_{B}-{a}_{1}t=\frac{1}{3}\sqrt{2gR}$；
故滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小为$v=\frac{\sqrt{2gR}}{3}$；
（3）碰撞前物块在滑板上的滑动距离${x}_{1}={v}_{B}t-\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=\frac{4}{3}R$，那么碰撞前系统产生的热量${Q}_{1}=μmg{x}_{1}=\frac{2}{3}mgR$；
碰撞后物块速度大小、方向不变，滑板速度大小不变，方向相反；之后，物块加速度为${a}_{1}=5m/{s}^{2}$，方向向左，滑块加速度为${a}_{2}=2.5m/{s}^{2}$，方向向右；
设系统所受合外力为零，那么动量守恒，设向左为正方向，共同速度为v′，则有：Mv-mv=（M+m）v′，所以，$v′=\frac{1}{3}v=\frac{1}{9}\sqrt{2gR}$；
那么由能量守恒可得：碰撞后系统产生的热量${Q}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}=\frac{8}{27}mgR$；
所以，运动过程中系统产生的热量$Q={Q}_{1}+{Q}_{2}=\frac{26}{27}mgR$；
答：（1）物块滑到轨道B处时对轨道的压力F_N为3mg，方向竖直向下；
（2）滑板与挡板P碰撞前瞬间物块的速度大小为v为$\frac{1}{3}\sqrt{2gR}$；
（3）运动过程中系统产生的热量Q为$\frac{26}{27}mgR$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．