Question

12．如图所示，左侧为一个固定在水平桌面上的半径为R的半球形碗，碗口直径AB水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个足够长的固定光滑斜面．一根不可伸长的轻质细绳跨过碗口及竖直固定的轻质光滑定滑轮，细绳两端分别系有可视为质点的小球m₁和物块m₂，且m₁＞m₂．开始时m₁恰在A点，m₂在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接m₁、m₂的细绳与斜面平行且恰好伸直，C点是圆心O的正下方．当m₁由静止释放开始运动，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 在m₁从A点运动到C点的过程中，m₁与m₂组成的系统机械能守恒
• B． 当m₁运动到C点时，m₁的速率是m₂速率的$\frac{\sqrt{2}}{2}$倍
• C． m₁不可能沿碗面上升到B点
• D． m₂沿斜面上滑过程中，地面对斜面的支持力始终保持恒定

Answer 1

分析 在m₁从A点运动到C点的过程中，m₁与m₂组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒．将m₁到达最低点C时的速度沿绳子方向和垂直绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于m₂的速度，根据平行四边形定则求出两个速度的关系．对系统，运用机械能守恒定律，m₁沿碗面上升的最大高度．分析斜面的受力情况，由平衡条件判断地面对斜面的支持力如何变化．

解答 解：A、在m₁从A点运动到C点的过程中，m₁与m₂组成的系统只有重力做功，系统的机械能守恒．故A正确．
B、设小球m₁到达最低点C时m₁、m₂的速度大小分别为v₁、v₂，由运动的合成分解得：v₁cos45°=v₂，则 $\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{2}$，故B错误．
C、在m₁从A点运动到C点的过程中，对m₁、m₂组成的系统由机械能守恒定律得：
m₁gR-m₂g•$\sqrt{2}$R=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
结合$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{2}$解得：v₁＜$\sqrt{2gR}$
若m₁运动到C点时绳断开，至少需要有$\sqrt{2gR}$的速度m₁才能沿碗面上升到B点，现由于m₁上升的过程中绳子对它做负功，所以m₁不可能沿碗面上升到B点．故C正确．
D、m₂沿斜面上滑过程中，m₂对斜面的压力是一定的，斜面的受力情况不变，由平衡条件可知地面对斜面的支持力始终保持恒定．故D正确．
故选：ACD

点评 解决本题的关键是要明确系统的机械能是守恒的，两球沿绳子方向的分速度大小相等，要注意对其中一个球来说，机械能并不守恒．