Question

7．一段凹槽A内侧之间的距离为l，倒扣在水平长木板C上，槽内有一个可看成质点的小物块B，它紧贴槽A内的左侧，如图所示，木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与木板间的动摩擦因数为μ．B、C二者质量相等，原来都静止，现使B以大小为v₀的初速度向右运动，已知v₀＜$\sqrt{2μgl}$．求：

（1）在A、B发生碰撞前，B、C能否达到共同速度？
（2）从B开始运动到A、B发生碰撞的时间内，木板C运动的位移？

Answer 1

分析 （1）槽与木板间的摩擦不计，因此B在C上滑动时，槽A不动，B向右匀减速、C向右匀加速．根据动能定理求出速度相等时B的位移，判断出是否与A发生碰撞．
（2）B、C达到共同速度后，B、C一起匀速运动，然后B与A的右端发生碰撞，根据动能定理求出C的位移．

解答 解：（1）槽与木板间的摩擦不计，因此B在C上滑动时，槽A不动，B向右匀减速、C向右匀加速．
由a=$\frac{F}{m}$，因为B、C二者质量相等，设为m，故它们的加速度大小相等．
用v₁表示它们的共同速度，
则对C：v₁=at     ①
则对B：v₁=v₀-at  ②
设B、C达到共同速度时，B移动的位移为x₁，对B由动能定理得：μmgx₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²  ③
解①②③得：x₁=$\frac{3{v}_{{0}^{2}}}{8μg}$    ④
根据题设条件v₀＜$\sqrt{2μgl}$，
可解得：x₁=$\frac{3}{4}$l＜l⑤
可见，B、C达到共同速度v₁时，B尚未与A发生碰撞．
（2）B、C达到共同速度后，B、C一起匀速运动（l-x₁）距离，B才能与A的右端发生碰撞．设C的速度由0增到v₁的过程中，C前进的位移为x₂．对C由动能定理得
μmgx₂=$\frac{1}{2}$mv₁²⑥
解得x₂=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{8μg}$⑦
从B开始运动到A、B发生碰撞的时间内，木板C运动的位移
x=x₂+（l-x₁）⑧
联立④⑦⑧解得：x=l-$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$．
答：（1）已达到共同速度
（2）从B开始运动到A、B发生碰撞的时间内，木板C运动的位移为l-$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$．

点评 本题考查了动能定理的综合运用，运用动能定理解题，关键选择好研究的过程，分析过程中有哪些力做功，然后列式求解，难度中等．