如图所示.两块平行金属板M.N间的距离为R.s1.s2分别为M.N板上的小孔.N板右侧有一半径也为R的有界区域.区域内存在磁感应强度大小为B.方向垂直纸面向外的磁场.有界区域边界与N板相切于s2.s1.s2和圆形有界区域的圆心O三点共线.它们的连线垂直于MN．区域外有一半圆形绝缘弹性挡板.圆心与O点重合.板上各点到O点的距离为2R.板两端点A.B的连线平行于M.N板．一质� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

如图所示，两块平行金属板M、N间的距离为R，s₁、s₂分别为M、N板上的小孔，N板右侧有一半径也为R的有界区域，区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的磁场，有界区域边界与N板相切于s₂，s₁、s₂和圆形有界区域的圆心O三点共线，它们的连线垂直于MN．区域外有一半圆形绝缘弹性挡板，圆心与O点重合，板上各点到O点的距离为2R，板两端点A、B的连线平行于M、N板．一质量为m、带电荷量为+q的粒子经s₁进入M、N间的电场后，通过s₂进入有界区域．粒子在s₁处的速度和粒子所受的重力均不计．
（1）欲使粒子沿直线运动，可在有界区域内添加一匀强电场，求该匀强电场的大小和方向（设M、N两板间电压为U）；
（2）撤去有界区域内的匀强电场，要使粒子能打在绝缘弹性挡板上，M、N两板间的电压应该满足什么条件？
（3）若粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变．要使粒子至少两次打在绝缘弹性挡板上，M、N两板间的电压应该满足什么条件？

分析（1）粒子在匀强电场中在加速运动，电场力做功等于粒子动能的增加，根据动能定理求出加速得到的速度大小．加上电场后，欲使粒子沿直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，据此列式求解匀强电场的大小和方向．
（2）撤去有界区域内的匀强电场，粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，根据题意，正确画出粒子运动的轨迹，根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系，再由牛顿第二定律列式即可求解．
（3）M、N两板间的电压越大，粒子加速获得的速度越大，在磁场中的轨迹半径越大，当电压增大到粒子进入磁场偏转，打在挡板上反弹后第二次通过A点时所加的电压最大．结合几何关系求出此时轨迹半径，由动能定理求解电压的条件．

解答解：（1）设粒子在M、N间加速获得的速度大小为v．
根据动能定理得：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$ ①
粒子在磁场中所受的洛伦兹力方向向下，欲使粒子沿直线运动，可在有界区域内添加一向上的匀强电场，且使粒子所受的电场力与洛伦兹力平衡，由 qvB=qE ②
由①②解得：E=B$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$ ③
（2）粒子带正电，进入磁场后向下偏转，因此粒子刚好打在挡板边界上B点的轨迹如图甲所示，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为R，则
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ④
要使粒子能打在绝缘弹性挡板上，M、N两板间的电压应该满足的条件为：U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$ ⑤
（3）M、N两板间的电压越大，粒子加速获得的速度越大，在磁场中圆周运动的半径越大，当电压增大到粒子进入磁场偏转，打在挡板上反弹后通过A点时所加的电压最大．
根据对称性可知，此时粒子第一次在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角为45°，由几何关系得：粒子运动的半径 r=$\frac{R}{tan22.5°}$ ⑥
粒子在磁场中运动的速度 v=$\frac{qBr}{m}$=$\frac{qBR}{mtan22.5°}$ ⑦
由qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$得M、N间的电压 U=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mta{n}^{2}22.5°}$ ⑧
因此要使粒子至少两次打在绝缘弹性挡板上，M、N两板间的电压应该满足：$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mta{n}^{2}22.5°}$≥U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$ ⑨
答：
（1）欲使粒子沿直线运动，可在有界区域内添加一匀强电场，该匀强电场的大小为B$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，方向向下．
（2）撤去有界区域内的匀强电场，要使粒子能打在绝缘弹性挡板上，M、N两板间的电压应该满足的条件为：U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$．
（3）若粒子与挡板碰撞后以原速率弹回，且其电荷量保持不变．要使粒子至少两次打在绝缘弹性挡板上，M、N两板间的电压应该满足的条件为：$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2mta{n}^{2}22.5°}$≥U≥$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$．

点评解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系．该题对空间思维的能力要求比较高．

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