Question

11．如图所示，由n=100片相同薄板叠放成的柱体A，放在水平面上，每一薄板均为正方形，边长为L=10cm，质量为m=0.1kg．所有接触面的动摩擦因数均为μ=0.09．重力加速度取g=10m/s²．试求：
（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范围；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范围；
（3）现在用硬质薄尺快速击打最下面一片薄板，仅使它立即获得垂直于边长方向的水平速度，导致与A分离，在A的剩余部分静止后再按同样的要求击打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分离为止，所有薄板获得的最小总动能之和是多少．（设A剩余部分仅在分离后才与桌面接触）

Answer 1

分析 （1）根据滑动摩擦力公式求出第一薄片受第二薄片的摩擦力，当拉力大于摩擦力时，可以直接把A的最上方薄板水平拉出；
（2）根据滑动摩擦力公式求出第100薄片上表面和下表面受到的摩擦力，根据牛顿第二定律求解；
（3）根据牛顿第二定律结合运动学基本公式列式求解即可．

解答 解：（1）第一薄片受第二薄片的摩擦力为：f₀=μmg
F₁-f₀＞0
代入数据解出：F₁＞0.09N 
（2）第100薄片上表面受摩擦力为：f₁=99μmg
下表面受摩擦力为：f₂=100μmg
由牛顿第二定律，拉力F₂应满足：F₂-f₁-f₂＞ma₁
a₁是与A分离时A剩余部分的加速度为：a₁=μg，
代入数据解出：F₂＞18N 
（3）第n薄片获速度最小v_n时，各层面摩擦因数均为μ，其余薄片相对静止．
A的剩余部分加速度为：${a}_{1}=\frac{μ（n-1）mg}{（n-1）m}=μg$
第n薄片的加速度为：${a}_{2}=\frac{nμmg+μ（n-1）mg}{m}=（2n-1）μg$，
A做匀加速运动，第n薄片做匀减速运动，速度相同时历时为t，有：
v_n-a₂t=a₁t
与A分离的条件是：${v}_{n}t-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}≥\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}+L$
联立求解得最小速度：${v}_{n}=2\sqrt{nLμg}$
同理得，第（n-1）薄片获最小速度：${v}_{n-1}=2\sqrt{（n-1）Lμg}$
第（n-N） 薄片获最小速度：${v}_{n-N}=2\sqrt{（n-N）Lμg}$
这样击打了99次，最后获动能之和最小值为：
${E}_{k}=\frac{1}{2}m（{{v}_{n}}^{2}+{v}_{n-1}^{2}+…+{v}_{n-N}^{2}）$
代入数据得：E_k=90.882J
答：（1）若用力F₁直接把A的最上方薄板水平拉出，拉力F₁的范围为F₁＞0.09N；
（2）若用力F₂直接把A的最下方薄板水平拉出，拉力F₂的范围为F₂＞18N；
（3）现在用硬质薄尺快速击打最下面一片薄板，仅使它立即获得垂直于边长方向的水平速度，导致与A分离，在A的剩余部分静止后再按同样的要求击打第二次、第三次、…，直到各薄板全部分离为止，所有薄板获得的最小总动能之和是90.882J．

点评 本题主要考查了运动学基本公式、牛顿第二定律以及动能表达式的直接应用，要求同学们能正确对物体受力分析，知道A与剩余部分分离的条件，难度较大．