Question

（30分）如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为μ．圆环处于磁感应强度大小为、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度ω 匀速转动．

注：

Answer 1

将整个导体棒分割成个小线元，小线元端点到轴线的距离分别为r₀(=0)，r₁，r₂，……，r_i-1，r_i，……，r_n-1，r_n(= a)，第i个线元的长度为，当很小时，可以认为该线元上各点的速度都为，该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

(1)

整个棒上的电动势为

(2)

由 ，

略去高阶小量(Δr)²及(Δr)³，可得

代入(2)式，得

(3)

由全电路欧姆定律，导体棒通过的电流为

(4)

导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反．

第i个线元受到的安培力为

(5)

作用于该线元的安培力对轴线的力矩

作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为

即

（6）

因棒A端对导体圆环的正压力为mg，所以摩擦力为，对轴的摩擦力矩为

(7)

其方向与安培力矩相同，均为阻力矩．为使棒在水平面内作匀角速转动,要求棒对于O轴所受的合力矩为零，即外力矩与阻力矩相等，设在A点施加垂直于棒的外力为f，则有

　 　　 （8）

由(6)、(7)、（8）式得

(9)