Question

如图，一个质量为m的小球（可视为质点）以某一初速度从A点水平抛出，恰好从圆管BCD的B点沿切线方向进入圆弧，经BCD从圆管的最高点D射出，恰好又落到B点．已知圆弧的半径为R且A与D在同一水平线上，BC弧对应的圆心角θ=60°，不计空气阻力．求：
（1）小球从A点做平抛运动的初速度v₀的大小；
（2）在D点处管壁对小球的作用力N；
（3）小球在圆管中运动时克服阻力做的功W_f．

Answer 1

分析：（1）根据几何关系求出平抛运动下降的高度，从而求出竖直方向上的分速度，根据运动的合成和分解求出初速度的大小．
（2）根据平抛运动知识求出小球在D点的速度，再根据牛顿第二定律求出管壁对小球的弹力作用．
（3）对A到D全程运用动能定理，求出小球在圆管中运动时克服阻力做的功．

解答：解：（1）小球从A到B：竖直方向

v

2 y

=2gR（1+cos60°）=3gR
则v_y=

3gR

                                        
在B点，由速度关系v₀=

vy

tan60°

=

gR

                          
（2）小球从D到B：竖直方向R（1+cos60°）=

1

2

gt²                  
 解得：t=

3R g

                                                
则小球从D点抛出的速度v_D=

Rsin60°

t

=

1

2

gR

                 
在D点，由向心力公式得：mg-N=m

v 2 D

R

                       
解得：N=

3

4

mg       方向竖直向上                     
（3）从A到D全程应用动能定理：-W_l=

1

2

mv

2 D

-

1

2

mv

2 0

              
解得：W_l=

3

8

mgR
答：（1）小球从A点做平抛运动的初速度v₀的大小为

gR

．
（2）在D点处管壁对小球的作用力N为

3

4

mg．
（3）小球在圆管中运动时克服阻力做的功W_l=

3

8

mgR．

点评：本题综合考查了平抛运动和圆周运动的基础知识，难度不大，关键搞清平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源．