Question

14．为了研究过山车的原理，某兴趣小组设计了过山车模型如图所示，取一个与水平方向夹角为37°、长为l=2.0m的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，轨道半径R=0.5m，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段，其他各段阻力可忽略不计．其中当物体经过AB与BC的连接点时没有机械能损失，已知小物块与AB段的动摩擦因数μ=0.25．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小物块刚好能够通过竖直圆轨道的最高点，求小物块通过圆弧最低点C时的速度v_c；
（2）若将该小物块从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，也刚好能够通过圆轨道的最高点，求抛出点到A点的竖直高度h．

Answer 1

分析 （1）恰好通过圆弧最高点时在最高点的速度满足v=$\sqrt{gR}$根据动能定理求解即可；
（2）根据动能定理先求得小物块在A点的速度大小，再根据平抛运动规律求解抛出点距A点的高度．

解答 解：（1）小物块刚好过竖直圆轨道的最高点，则可知在最高点小物块的速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}m/s$
从C到最高点过程中根据动能定理有：
$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得${v}_{C}=\sqrt{{v}^{2}+2g•2R}$=$\sqrt{5+2×10×2×0.5}m/s=5m/s$
（2）能通过竖直圆轨道最高点，小物块运动到C时速度满足v_C=5m/s，小物块从A到B过程中由动能定理有：
$mgLsin37°-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得${v}_{A}=\sqrt{{v}_{C}^{2}-2gLsin37°+2μgLcos37°}$=3m/s
物体水平抛出后沿AB方向进入A，根据平抛知识可知，进入A点时小物块在竖直方向的速度v_Ay=v_Asin37°=3×0.6m/s=1.8m/s
根据动能定理可知mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{Ay}^{2}-0$
可得h=$\frac{{v}_{Ay}^{2}}{2g}=\frac{1．{8}^{2}}{2×10}m=0.162m$
答：（1）若小物块刚好能够通过竖直圆轨道的最高点，小物块通过圆弧最低点C时的速度v_c为5m/s；
（2）若将该小物块从某一高处水平抛出，到A点时速度方向恰好沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下，也刚好能够通过圆轨道的最高点，抛出点到A点的竖直高度h为0.162m．

点评 解决本题的关键是抓住小球能过竖直平面最高点的临界条件根据动能定理求解，注意与平抛知识的结合．