Question

6．如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条轨道，其中ABC的末端水平，DEF是一半径R=0.9m的光滑半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，AB是个粗糙的斜面，动摩擦因数μ=0.3，倾角θ=37⁰，BC是光滑的水平面，过B时无机械能损失，现有一质量m=1kg的可视质点的小滑块从轨道ABC上距C点高为H处A点由静止释放，求：（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若要使小滑块经C处水平进入轨道DEF且恰能做圆周运动，滑块过D点速度多大？
（2）要符合上述条件小滑块应从轨道ABC上距C点多高的地方由静止释放？
（3）求小滑块沿轨道DEF运动经过F、D两点时对轨道的压力之差．

Answer 1

分析 （1）小滑块经C处后恰能沿轨道DEF做圆周运动时，在D点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求出小滑块经过D点的速度．
（2）对从A到C过程，运用动能定理列式，即可求解释放点的高度．
（3）滑块经过D点和F点时，由合力提供向心力，由牛顿第二定律和向心力公式分别列式．再结合机械能守恒定律求解．

解答 解：（1）小滑块经C处后恰能沿轨道DEF做圆周运动时，在D点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律得
    mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得 v_D=3m/s
（2）小滑块从A到C过程，运用动能定理得
   mgH-μmgcosθ•$\frac{H}{sinθ}$=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得 H=0.75m
（3）小滑块沿DEF做圆周运动时，经过D点时对轨道的压力为0．
从D到F的过程，由机械能守恒定律得
   mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{F}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在F点，由牛顿第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$
联立得 N=6mg=60N
由牛顿第三定律得，在F点，滑块对轨道的压力大小为60N，所以小滑块沿轨道DEF运动经过F、D两点时对轨道的压力之差为60N．
答：
（1）若要使小滑块经C处水平进入轨道DEF且恰能做圆周运动，滑块过D点速度是3m/s．
（2）要符合上述条件小滑块应从轨道ABC上距C点0.75m高的地方由静止释放．
（3）小滑块沿轨道DEF运动经过F、D两点时对轨道的压力之差是60N．

点评 本题是圆周运动、动能定理和机械能守恒结合的题型，关键要知道小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点的临界条件：重力等于向心力．