Question

4．如图所示，处于竖直平面内的平行光滑导轨置于足够长的有界匀强磁场中，磁感应强度大小为B=1.0T，质量M=0.1kg的金属杆ab垂直于导轨平面，在外力作用下以恒定的速度v沿导轨向左匀速运动，导轨宽度L=$\frac{1}{3}$m，电阻R₁=R₃=2Ω，R₂=1Ω，导轨电阻不计，平行板电容器水平放置，板间距离d=10mm，内有一质量m=5×10^-2kg，电量q=5×10^-3C的小球．在开关S₁闭合，S₂断开时微粒处于静止状态；当S₁、S₂都闭合后微粒以a=$\frac{5}{9}$g的加速度匀加速向下运动（g=10m/s²）．求：
（1）金属杆的电阻r和运动时产生的感应电动势E；
（2）S₁、S₂都闭合后某时刻撤去外力，同时断开S₁、S₂，从此刻到金属杆停下，金属杆产生的热量Q_ab及通过金属杆的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）导体棒做匀速直线运动，产生恒定的感应电动势，根据闭合电路欧姆定律、串并联电路的特点，以及共点力平衡和牛顿第二定律求出感应电动势和金属杆的电阻．
（2）根据感应电动势的大小，结合E=BLv求出导体棒的速度，根据能量守恒定律求出整个回路产生的热量，从而得出金属杆产生的热量，根据牛顿第二定律、运用微分思想求出导体棒通过的位移大小，结合q=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$求出通过金属杆的电荷量．

解答 解：（1）S₁闭合，S₂断开时，有：
${I}_{1}=\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}$…①
U_c1=I₁（R₁+R₂）…②
根据小球处于静止有：$q\frac{{U}_{c1}}{d}=mg$…③
S₁、S₂都闭合时有：
${I}_{2}=\frac{E}{\frac{{R}_{1}{R}_{3}}{{R}_{1}+{R}_{3}}+{R}_{2}+r}$…④
U_c2=I₂R₂…⑤
根据牛顿第二定律有：$mg-q\frac{{U}_{c2}}{d}=ma$…⑥
由①～⑥，代入数据解得：$E=\frac{4}{3}V$，r=1Ω…⑦
（2）根据E=BLv得速度为：v=$\frac{E}{BL}=\frac{\frac{4}{3}}{1×\frac{1}{3}}m/s=4m/s$…⑧
根据能量守恒得，整个回路产生的热量为：$Q=\frac{1}{2}M{v}^{2}=\frac{1}{2}×0.1×16J=0.8J$…⑨
则金属杆产生的热量为：${Q}_{ab}=\frac{r}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}Q=\frac{1}{4}×0.8J=0.2J$…⑩
设从金属杆撤去外力F到停下的位移为x，对棒分析，根据牛顿第二定律有：${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{1}+{R}_{2}+r}=Ma=M\frac{△v}{△t}$，
根据微分思想得：0-v=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{M（{R}_{1}+{R}_{2}+r）}（{v}_{1}△{t}_{1}+{v}_{2}△t+…$v_n△t_n）=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{M（{R}_{1}+{R}_{2}+r）}x$，
代入数据解得：x=14.4m．
则通过的电荷量为：q=$\frac{Blx}{{R}_{总}}$，
代入数据解得：q=1.2C．
答：（1）金属杆的电阻r为1Ω，运动时产生的感应电动势为$\frac{4}{3}V$．
（2）从此刻到金属杆停下，金属杆产生的热量为0.2J，通过金属杆的电荷量为1.2C．

点评 本题考查了电磁感应与电路、力学和能量的综合运用，涉及的知识点较多，综合性较强，对学生的能力要求较高，掌握安培力的经验表达式${F}_{A}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{总}}$和电量的经验表达式q=$\frac{△Φ}{{R}_{总}}$，并能灵活运用．