Question

相距为L、质量均为m的两小物块A、B，静止放在足够长的水平面上，它们与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2．现在用一个大小为0.3mg的水平向右的恒力F推A，A开始向右运动，并与B发生多次弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，重力加速度为g，试求：
（1）第一次碰撞后B的速度大小；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间；
（3）B运动的总路程．

Answer 1

分析：（1）第一次碰撞前，推力和滑动摩擦力做功，根据动能定理求解第一次碰撞前A的速度大小，由于发生弹性碰撞，A、B的动量和机械能均守恒，即可求得碰后B的速度大小；
（2）由于质量相等，两个物体交换速度，根据牛顿第二定律和运动学公式分别研究第一次、第二次…第n次碰撞后B的速度大小，即可求得第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间；
（3）总结出第n次碰后到第n+1次碰前B的运动位移，运用数学知识求解总路程．

解答：解：（1）A匀加速L，第一次碰前A的速度设为v_A1，由动能定理得：
  (F-μmg)L=

1

2

m

v

2 A1

-0①
解得 vA1=

gL 5

A与B发生第一次弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，设碰后速度分别为v'_A1，v'_B1mv_A1=mv'_A1+mv'_B1②
 

1

2

m

v

2 A1

=

1

2

mv′A12+

1

2

mv′B12③
解得：v'_A1=0   v′B1=

gL 5

（2）第一次碰后，设经过t₁B停下，B和A位移分别为S_B1和S_A1
t1=

v′B1

μg

④
 SB1=

v ′ 2 B1

2μg

⑤
 SA1=

1

2

(

F-μmg

m

)

t

2 1

⑥
解得t1=

5L g

SB1=

L

2

 SA1=

L

4

由于S_B1＞S_A1，因此第2次碰前，B已经停下．设第2次碰前A的速度为v_A2
(F-μmg)

L

2

=

1

2

m

v

2 A2

-0⑦
A与B发生第2次弹性碰撞，遵守动量守恒和机械能守恒，碰后速度交换，设碰后速度分别为v'_A2，v'_B2
解得v'_A2=0v′B2=

gL 10

同理依此类推，归纳得
第n次碰后B的速度v′Bn=

gL 5×2n-1

=

2gL 5×2n

第n次碰后到第n+1次碰前B的运动时间tn=

v′Bn

μg

=

10L g×2n

由此得t5=

5L 16g

（3）第n次碰后到第n+1次碰前B的运动位移SBn=

v ′ 2 Bn

2μg

=

L

2n

SB=SB1+SB2+…+SBn=

L

2

+

L

22

+…+

L

2n

=

L 2

1- 1 2

=L
另解：最终AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B
解得S_B=L
答：
（1）第一次碰撞后B的速度大小为

gL 5

；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的运动时间为

5L 16g

；
（3）B运动的总路程为L．

点评：本题是周期性碰撞类型，运用数学归纳法总结规律是关键．对于第3问也这样求解：最终AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B解得S_B=L．