Question

12．已知质量为m的小球，沿粗糙的环形轨道H高度处由静止滑下（如图所示），在轨道最低点与半径为R的光滑圆轨道A点相切，并且在圆轨道中恰好能运动到最高点B，求：
（1）小球运动到B点时速度大小？
（2）小球在轨道最低点受到轨道的支持力大小？
（3）在粗糙轨道上克服阻力做的功？

Answer 1

分析 （1）当在圆轨道中恰好能运动到最高点B，根据牛顿第二定律求解速度；
（2）先由动能定理求出小球到达A点时的速度大小，再由牛顿第二定律求出轨道对小球的支持力；
（3）由动能定理求出在粗糙轨道上运动过程克服阻力做的功．

解答 解：（1）恰好能运动到最高点B，则：mg=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
（2）从A到B点，根据动能定理有：$-mg•2R=\frac{1}{2}{mv}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在B点，根据牛顿第二定律有：${N}_{A}-mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
联立解得：N_A=6mg
（3）在粗糙轨道上运动过程，根据动能定理有：
mgH-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-0$
解得克服阻力做的功为：W_f=mg（H+2.5R）
答：（1）小球运动到B点时速度大小为$\sqrt{gR}$；
（2）小球在轨道最低点受到轨道的支持力大小为6mg；
（3）在粗糙轨道上克服阻力做的功为mg（H+2.5R）．

点评 本题综合运用了动能定理、牛顿第二定律，综合性较强，关键理清过程，选择适当的定理或定律进行解题．