Question

如图所示，某一空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．右侧区域匀强磁场的磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向里，其右边界可向右边无限延伸．一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：
（1）带电粒子在磁场中的轨道半径；
（2）中间磁场区域的宽度d；
（3）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t．

Answer 1

分析：（1）带正电的粒子在电场中做匀加速直线运动，垂直进入磁场后做匀速圆周运动，画出粒子运动的轨迹，根据动能定理即可求解带电粒子在磁场中运动的速率；
（2）粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律求出轨迹的半径．根据几何关系求解中间磁场区域的宽度；
（3）先求出在电场中运动的时间，再求出在两段磁场中运动的时间，三者之和即可带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间．

解答：解：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得：qEL=

1

2

mv² 
带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：Bqv=m

v2

R

 
由以上两式，可得        R=

1

B

2mEL q

          
（2）由于在两磁场区域中粒子运动半径相同，如图14所示，三段圆弧的圆心组成的三角形△O₁O₂O₃是等边三角形，其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为
d=Rsin60°=

1

2B

6mEL q

         
（3）在电场中   t₁=

2v

a

=

2mv

qE

=2

2mL qE

 
在中间磁场中运动时间t₂=

T

3

=

2πm

3qB

 
在右侧磁场中运动时间t₃=

5

6

T=

5πm

3qB

 
则粒子第一次回到O点的所用时间为
t=t₁+t₂+t₃=2

2mL qE

+

7πm

3qB

答：（1）带电粒子在磁场中的轨道半径为

1

B

2mEL q

；
（2）中间磁场区域的宽度d为

1

2B

6mEL q

；
（3）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t为2

2mL qE

+

7πm

3qB

．

点评：本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识求解轨迹半径．