Question

18．如图所示，等腰直角三角形ABC为全反射棱镜的截面图，∠A为直角．一束单色光与AB成θ=45°角射入AB的中点P点，折射光线与法线夹角α=30°．
（i）计算棱镜材料的折射率；
（ii）若使从P点射入的光线进入三棱镜后能射到AC边上且能在AC面上发生全反射，则cosθ应满足什么条件？

Answer 1

分析 （i）由图得到入射角，再由折射定律求棱镜材料的折射率；
（ii）根据几何关系分析光线能射到AC边上的条件．要使光线能在AC面上发生全反射，入射角应大于等于临界角，结合几何关系求cosθ应满足的条件．

解答 解：（i）根据n=$\frac{sini}{sinr}$得，棱镜材料的折射率为
   n=$\frac{sin（90°-θ）}{sinα}$=$\frac{sin45°}{sin30°}$=$\sqrt{2}$
（ii）①要使光线能射到AC边上，由几何关系须有：
  sinα≥$\frac{1}{\sqrt{5}}$
结合 n=$\frac{sin（90°-θ）}{sinα}$，解得：cosθ≥$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
②设光由三棱镜射向空气时临界角为C，则有 sinC=$\frac{1}{n}$
要使光线能在AC面上发生全反射，应有 β≥C
由几何关系 α+β=90°
联立解得：cosθ≤1
综上可得：$\frac{\sqrt{10}}{5}$≤cosθ≤1
答：
（i）棱镜材料的折射率是$\sqrt{2}$．
（ii）cosθ应满足的条件是：$\frac{\sqrt{10}}{5}$≤cosθ≤1．

点评 解答本题时，首先审题时要注意：第2小题有两个要求：1、光线能射到AC边上．2、光线能在AC面上发生全反射，两个条件都必须满足．解答的关键在于利用几何关系找出入射角、折射角和它们之间的关系，由折射定律可列出方程求解．