Question

一皮带传动装置如图所示，皮带的速度v足够大.一根质量不计、劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端连接一个质量为m的滑块，已知滑块与皮带间的动摩擦因数为μ.当滑块放到皮带上时，弹簧的轴线恰好水平，若滑块放到皮带上的瞬间，滑块的速度为零，且弹簧正好处于自由长度，则当弹簧第一次伸长到最大时，滑块与皮带间所产生的热量是多少？

Answer 1

μmg(vπ-2μmg/k)

由于皮带的速度v足够大，故以皮带为参考系，滑块始终是向右运动，滑块所受到的滑动摩擦力方向始终是向左的.滑块实际上是向左运动，只要弹簧对它的拉力小于摩擦力，滑块是加速运动，当弹簧对它的拉力大于摩擦力，滑块做减速运动，当滑块的速度减小到零时，弹簧的伸长量最大，以后，滑块在弹簧拉力和摩擦力的作用下向右运动.由于滑块在运动过程中所受到的摩擦力的大小和方向都不变，故此滑块在皮带上的运动类似于竖直的弹簧振子，此处的摩擦力相当于竖直弹簧振子的重力，所以滑块的运动是一个简谐运动.其振幅为A=μmg/k，弹簧伸长的最大长度也就是滑块运动的位移（对地）为：
s=2A=2μmg/k
滑块在这段位移是所经历的时间为：
Δt=T/2=π
滑块在皮带上相对路径为：
Δl=vΔt-s=vπ-2μmg/k
所以，在这段时间内产生的热量，即：
Q=μmgΔl=μmg(vπ-2μmg/k).