Question

如图所示，质量为m的小球自由下落高度为R后沿竖直平面内的轨道ABC运动．AB是半径为R的1/4粗糙圆弧，BC是直径为R的光滑半圆弧，小球运动到C时对轨道的压力恰为零．B是轨道最低点．求：
（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功．
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比．
（3）小球离开C点后竖直下落多少高度才能撞上圆轨道？

Answer 1

分析：（1）小球运动到C点时对轨道的压力恰为零，由重力提供小球的向心力．小球由静止释放到C点过程，重力和摩擦力做功，根据动能定理求解小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功．
（2）根据动能定理求出经过B点时的速度大小，根据牛顿运动定律分别求出小球经B点前、后瞬间对轨道的压力大小，再求解压力之比．
（3）小球离开C点后做平抛运动，合位移等于半径，根据平抛运动的分位移公式列式求解即可．

解答：解：（1）小球在C点：根据牛顿第二定律得
mg=m

v 2 c

R 2

小球由静止释放到C点过程，据动能定理得
mgR+W_f=

1

2

mv_C²
联立解得W_f=-

3

4

mgR
（2）小球由静止释放到B点过程，据动能定理得
2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B点前瞬间据牛顿第二定律得
F_N前-mg=m

v 2 B

R

在B点后瞬间据牛顿第二定律得
F_N后-mg=m

v 2 B

R 2

由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小等于轨道对小球的支持力大小．
联立解得 F_N前：F _N后=7：12
（3）小球离开C点后做平抛运动，合位移等于半径，根据平抛运动的分位移公式，有：
x=v_ct
y=

1

2

gt2
R²=x²+y²
联列解得：y=

5 -1

2

R≈0.618R
答：（1）小球在AB弧上运动时，摩擦力对小球做的功为-

3

4

mgR．
（2）小球经B点前、后瞬间对轨道的压力之比为7：12．
（3）小球离开C点后竖直下落0.618R的高度才能撞上圆轨道．

点评：本题是动能定理、向心力公式、平抛运动知识的综合，小球恰好通过圆轨道最高点时临界速度要会用牛顿第二定律进行推导．小球经过B点前后，由于轨道半径变化，导致向心力变化，轨道所受的压力大小也发生了变化．