Question

如图4－3－13所示为某种鱼饵自动投放器中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为m的鱼饵到达管口C时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g.求：

(1)质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小v₁；

(2)弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；

(3)已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线OO′在90°角的范围内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在m到m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少？

Answer 1

解析　(1)质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力完全由重力提供，

则mg＝m                                                                                                   ①

由①式解得

v₁＝                                                                                                                ②

(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，

由机械能守恒定律有

E_p＝mg(1.5R＋R)＋mv₁²                                                                                                                                                                 ③

由②③式解得

E_p＝3mgR                                                                                                          ④

(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，

质量为m的鱼饵离开管口C后做平抛运动，

设经过t时间落到水面上，

离OO′的水平距离为x₁，

由平抛运动规律有

4．5R＝gt²                                                                                                                                                                                                        ⑤

x₁＝v₁t＋R                                                                                                                ⑥

由⑤⑥式解得x₁＝4R                                                                                         ⑦

当鱼饵的质量为m时，

设其到达管口C时速度大小为v₂，

由机械能守恒定律有

E_p＝mg(1.5R＋R)＋v₂²                                                                                                                                                     ⑧

由④⑧式解得v₂＝2                                                                                         ⑨

质量为m的鱼饵落到水面上时，

设离OO′的水平距离为x₂，则

x₂＝v₂t＋R                                                                                                                ⑩

由⑤⑨⑩式解得x₂＝7R

鱼饵能够落到水面的最大面积

S＝(πx₂²－πx₁²)＝πR²(或8.25πR²)．

答案　(1)

(2)3mgR

(3)πR²(或8.25πR²)