Question

【题目】2007年10月24日，中国首颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心发射升空，准确进入预定轨道．随后，“嫦娥一号”经过变轨和制动成功进入环月轨道．如图所示，阴影部分表示月球，设想飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上作匀速圆周运动，到达A点时经过暂短的点火变速，进入椭圆轨道Ⅱ，在到达轨道Ⅱ近月点B点时再次点火变速，进入近月圆形轨道Ⅲ，而后飞船在轨道Ⅲ上绕月球作匀速圆周运动．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0．不考虑其它星体对飞船的影响，求：

（1）飞船在轨道Ⅰ、Ⅲ的速度之比．

（2）飞船从轨道Ⅱ上远月点A运动至近月点B所用的时间．

（3）如果在Ⅰ、Ⅲ轨道上有两只飞船，它们绕月球飞行方向相

同，某时刻两飞船相距最近（两飞船在月球球心的同侧，且两飞船与月球球心在同一直线上），则经过多长时间，他们又会相距最近？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】试题分析：根据万有引力提供圆周运动向心力，由半径与关系求得速度之比；根据开普勒行星定律由半长轴的关系求得周期，从远月点飞到近月点所用时间为椭圆轨道的一半周期；相距最近时，两飞船中运得快的比运动得慢的多绕月飞行n周，根据角速度关系求解所用时间即可。

（1）由万有引力提供向心力有：，解得：

所以：

（2）设飞船在轨道I上的运动周期为T1，在轨道I有：

在月球表面有：

由以上可得：

设飞船在轨道II上的运动周期T2，而轨道II的半长轴为2.5R，

根据开普勒定律得：

可解得：

所以飞船从A到B的飞行时间为：

（3）设飞船在轨道I上的角速度为ω1、在轨道III上的角速度为ω3，有：

所以

设飞飞船再经过t时间相距最近，有：ω3t﹣ω1t=2nπ

所以