Question

14．如图所示，质量为m的人造地球卫星在半径为R₁的轨道上做匀速圆周运动，通过推进器做功转移到半径为R₂的轨道上做匀速圆周运动，已知此过程中卫星机械能变化量的绝对值与动能变化量的绝对值相等，地球质量为M，引力常量为G．下列说法正确的是（　　）

• A． 合外力对卫星做的功为$\frac{GMm（{R}_{2}-{R}_{1）}}{2{R}_{1}{R}_{2}}$
• B． 推进器对卫星做的功为$\frac{GMm（{R}_{2}-{R}_{1}）}{2{R}_{1}{R}_{2}}$
• C． 卫星引力势能的增加量为$\frac{GMm（{R}_{2}-{R}_{1}）}{2{R}_{1}{R}_{2}}$
• D． 卫星引力势能的增加量为$\frac{GMm（{R}_{2}-{R}_{1}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出线速度与轨道半径的关系，从而得出动能，根据动能定理求出合力做功，根据机械能的变化量求出推进力做功．

解答 解：根据$G\frac{Mm}{{{R}_{1}}^{2}}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{1}}$，$G\frac{Mm}{{{R}_{2}}^{2}}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{2}}$，则在轨道1上的动能${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{GMm}{2{R}_{1}}$，在轨道2上的动能${E}_{k2}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$=$\frac{GMm}{2{R}_{2}}$，
则动能变化量的绝对值为$\frac{GMm}{2{R}_{1}}-\frac{GMm}{2{R}_{2}}$．
合外力做功W_合=E_k2-E_k1=$\frac{GMm}{2{R}_{2}}-\frac{GMm}{2{R}_{1}}=\frac{GMm（{R}_{1}-{R}_{2}）}{2{R}_{1}{R}_{2}}$，故A错误．
B、推进器对卫星做功等于机械能的增加量，卫星机械能变化量的绝对值与动能变化量的绝对值相等，则推进器做功为W=$\frac{GMm}{2{R}_{1}}-\frac{GMm}{2{R}_{2}}$=$\frac{GMm（{R}_{2}-{R}_{1}）}{2{R}_{1}{R}_{2}}$．故B正确．
C、引力势能E_p=-$\frac{GMm}{r}$，则引力势能的增加量$△{E}_{p}=-\frac{GMm}{{R}_{2}}-（-\frac{GMm}{{R}_{1}}）$=$\frac{GMm（{R}_{2}-{R}_{1}）}{{R}_{1}{R}_{2}}$．故C错误，D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键知道合力做功与动能的变化关系，除引力做功以外其它力做功与机械能的关系，难度不大．