Question

一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的．在井中固定插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底，在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动．开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面．如图(甲)所示．现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动．已知管筒半径r=0.100m．井的半径R=2r．水的密度ρ=1.00×kg/，大气压=1.00×Pa，求活塞上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功．(井和管在水面以上及水面以下部分都足够长．不计活塞质量，不计摩擦．重力加速度g取10m/)

Answer 1

答案：16500J
解析：

解：当活塞提升时，水面紧贴活塞一起上升．由于1个大气压所能支持的水柱高度为 ， 即当管内外水面的高度差小于10m时，管内的水面始终紧贴活塞．当此 高度差高于10m时，水不再上升，在活塞下方将会出现真空． 设活塞上升h高度时，圆管外部的水面下降的高度为，如图(乙)所示，由于管内外的水的体积相等，故有，则得，又当即时，管内外的水面高度差恰好是10m在此过程中，拉力为变力，所做功为，其大小等于管内水的重力势能的增加，即为，代入数据可得 =×． 在活塞从=7.5m上升到H=9.0m的过程中，拉力F是恒力，即，设拉力F做功为××3.14×．在整个过程中拉力做的功为． 此题目研究的问题是：求解拉力F对活塞所做的功；研究对象是在圆管中被提升的水柱；解题的关键有三点：①明确1个大气压所能支持的水柱高度h=10m，②圆形水管内外上升和下降的水的体积相等，③拉力做功的效果是增加了上升的水柱的重力势能；应当避免的解题错误是当圆管内外水面的高差超过10m时，水面不再随活塞高度的变化而同步升高，拉力F由变力做功转换为恒力做功． 在求解拉力F做功时，必须注意到当水管内外的高度差超过10m时，水面不再随活塞的上升而上升，拉力F由原先的变力做功转换为恒力做功．还要注意管的内外水面的升和降引起的水的重力势能的增加均是因为拉力F做功而导致的．