Question

11．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R．一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．

Answer 1

分析 根据牛顿第三定律得到物块在最高点受到的支持力范围，然后由牛顿第二定律求得速度范围，再对整个运动过程应用机械能守恒即可求得高度范围．

解答 解：物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg，那么由牛顿第三定律可得：在该最高点物块受到的支持力不能超过5mg；
对物块在最高点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}≤mg+5mg=6mg$
所以，物块在最高点的动能范围为：$\frac{1}{2}mgR≤\frac{1}{2}m{v}^{2}≤3mgR$；
滑块在整个运动过程中只有重力做功，故机械能守恒定律，所以有：$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
所以，$\frac{1}{2}R≤h-2R≤3R$
所以，$\frac{5}{2}R≤h≤5R$；
答：物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围为$\frac{5}{2}R≤h≤5R$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．