Question

15．理论研究表明第二宇宙速度是第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍，在火星表面高度为h处平抛一个物体，经过时间t落到火星表面，已知火星的半径为R，若不考虑火星自转的影响，要使火星探测器脱离火星飞回地球，则探测器从火星表面的起飞速度至少要达到火星上的第二宇宙速度，试用题中所给物理量表示该第二宇宙速度．

Answer 1

分析 根据平抛运动在竖直方向上是自由落体求得火星上的重力加速度，再由重力加速度求得火星上的第一宇宙速度，从而得出第二宇宙速度的大小．

解答 解：令火星表面的重力加速度为g，火星质量为M，由平抛运动规律有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得火星表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
火星的第一宇宙速度为贴近火星表面运行的航天器的速度，在火星表面重力与万有引力相等故根据万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
可得火星的第一宇宙速度${v}_{1}=\sqrt{gR}=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
由题意知第二宇宙速度是第一宇宙速度的$\sqrt{2}倍$，所以有火星的第二宇宙速度
${v}_{2}=\sqrt{2}{v}_{1}$=$\frac{2\sqrt{hR}}{t}$
答：火星上的第二宇宙速度为$\frac{2\sqrt{hR}}{t}$．

点评 解决本题的关键是掌握平抛运动在竖直方向上的运动规律，知道星球表面重力与万有引力相等及万有引力提供圆周运动向心力是正确解题的关键．