Question

11．过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R₁=2.0m、R₂=1.4m．一个质量为m=1.0kg的小球（视为质点），从轨道的左侧A点以v₀=12m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L₁=6.0m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，力加速度g=10m/s²．试求：

（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C间距L应是多少；
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件；小球最终停留点与D点的距离．

Answer 1

分析 对小球的运动过程进行分析．
运用动能定理求出小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度，再对小球在第一个圆轨道的最高点进行受力分析，并利用牛顿第二定律求出轨道对小球作用力．
知道小球恰能通过圆形轨道的含义，并能找出在第二圆形轨道的最高点速度．运用动能定理研究某一运动过程求出B、C间距L．
知道要使小球不能脱离轨道的含义：1、小球恰能通过第三个圆轨道，2、轨道半径较大时，小球不能通过第三个圆轨道，但是还要不能脱离轨道，那么小球上升的高度就不能超过R₃
应用动能定理研究整个过程求出两种情况下的问题

解答 解：（1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为v₁根据动能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀² …①
小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律有：
F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$…②
由①②解得：F=10.0 N…③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v₂，由小球恰能通过第二圆形轨道有：mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$…④
由动能定理得：-μmg（L₁+L）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑤
由④⑤解得：L=12.5m…⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
 I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v₃，应满足：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{3}}$…⑦
由动能定理得：-μmg（L₁+2L）-2mgR₃=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₀²…⑧
由 ⑥⑦⑧解得：R₃=0.4m；
II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R₃，根据动能定理有：
-μmg（L₁+2L）-mgR₃=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入数据解得：R₃=1.0m，
综上所述可知，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件：0＜R₃≤0.4m或 1.0m≤R₃，
小球最终停留点与起始点D的距离为：L′=5m；
答：（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小为10N，方向竖直向下；
（2）如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是12.5m；
（3）在第三个圆形轨道的设计中，半径R₃应满足的条件是：：0＜R₃≤0.4m或 1.0m≤R₃，小球最终停留点与D点的距离为5m．

点评 本题为力学综合题，要注意正确选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义．