Question

【题目】如图所示，在水平线ab下方有一匀强电场，电场强度为E，方向竖直向下，ab的上方存在匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，磁场中有一内、外半径分别为R、的半圆环形区域，两半圆与ab的交点分别为M、N、C、D。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放，由M进入磁场，从N点第1次出磁场，不计粒子重力。

（1）求粒子从P到M所用的时间t；

（2）改变粒子静止释放位置（仍在线段PM上），要使粒子能够到达C点，求释放位置距M点的距离x；

（3）若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出，能由M进入磁场，始终在环形区域中运动，且所用的时间最少，求粒子在Q时速度的大小。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）根据洛伦兹力提供向心力即可求出粒子到达M点的速度，然后结合动量定理即可求出粒子在电场中运动的时间；
（2）根据周期性结合几何关系求解粒子的轨道半径，从而找到速度关系式，根据动能定理求解释放位置距M点的距离x.

由圆周运动的条件与临界条件，求出粒子到达M的速度，然后由动能定理即可求出。

（1）设粒子在磁场中运动的速度大小为v，所受洛伦兹力提供向心力，有

设粒子在电场中运动所受电场力为F，有F=qE ；

设粒子在电场中运动的加速度为a，根据牛顿第二定律有F=ma ；

粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动，有v=at；

联立式得；

（2）考虑周期性，假设粒子在磁场中经过n的半圆到达C点，则 R-R=n2r

得：，又

得

根据动能定理： ，得 ，n=1,2,3,….

（3）粒子从M点进入匀强磁场后都从N点射出，当轨迹与内圆相切时，所用的时间最短，设粒子在磁场中的轨迹半径为，由几何关系可知

设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为θ，即圆弧所对圆心角的一半，由几何关系可知⑦；

粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动，在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同，所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v，在垂直于电场方向的分速度始终为，由运动的合成和分解可知

得．