Question

4．某索道全长l=125m，两端高度差h=62.5m，乘客箱通过滑轮悬挂于索道上，经过测试，从最高点由静止出发，做匀加速直线运动滑向最低点只花了t=10s，这个过程十分危险．为了控制乘客箱下滑的速度，乘客箱还需要加装一个智能抓手，以便在索道上获得阻力F，已知F的大小与下滑的位移x的关系如图所示．试求：
（1）如果不使用智能抓手，乘客箱到达最低点的速度大小．
（2）如果要使乘客箱到达最低点的速度为零，那么乘客将在何处开始使用智能抓手？（取重力加速度为g=10m/s²，忽略索道的弯曲）

Answer 1

分析 本题关键在于先对测试用乘客箱受力分析，根据运动学公式和牛顿第二定律列式求解出摩擦力的大小，然后将乘客箱的实际运动分割为三个过程，对每一个分过程运用牛顿第二定律和运动学公式列式，逐步求解出最后的速度．

解答 解：（1）由运动学公式l=$\frac{1}{2}$at²得乘客箱到达最低点所用的时间为：
a=$\frac{2l}{{t}^{2}}$=$\frac{2×125}{1{0}^{2}}$m/s²=2.5m/s²，
则乘客箱到达最低点的速度大小为：
v_t=at=2.5m/s²×10s=25m/s．
（2）设乘客箱的质量为m，索道倾角为θ，其受重力mg、支持力N、摩擦力f，沿索道向下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律有：
mgsinθ-f=ma，
其中sinθ=$\frac{h}{l}$，
联立以上各式可解得：f=0.25mg；
在45m～90m阶段，根据牛顿第二定律有，
F_合=mgsinθ-f-0.25mg=0.5mg-0.25mg-0.25mg=0，
故乘客箱以速度v₁做匀速直线运动，由图象分析可知，如果在45m～90m之间使用智能抓手，乘客箱先匀速运动，再减速运动，减速的加速度为a′，
由牛顿第二定律得：0.65mg+f-mgsinθ=ma′，
代入数据可解得：a′=4m/s²，
要使乘客箱到达最低点的速度为零，在90m～125m阶段，乘客箱运动的位移为：
x′=125m-90m=35m，
由运动学公式${v}_{t}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=2ax得滑到90m处的速度为：
${v}_{t}^{′2}$=2a′x′=2×4m/s²×35m，
对没有使用智能抓手时，由运动学公式${v}_{t}^{2}$=2ax得：
x=$\frac{{v}_{t}^{′2}}{2a}$=$\frac{2×4×35}{2×2.5}$m=56m，
所以在下滑到56m时使用智能抓手，乘客箱先做34m的匀速运动，然后做35m的减速运动，到最低点的速度刚好为零．
答：（1）如果不使用智能抓手，乘客箱到达最低点的速度大小是25m/s；
（2）如果要使乘客箱到达最低点的速度为零，那么乘客箱 在下滑到56m时使用智能抓手．

点评 本题属动力学常规题，多数同学习惯了斜面上的滑动摩擦力的计算，本题却另辟蹊径直接给出抓手阻力的图象，陈中有新意，但不偏不怪，
主要考查牛顿运动定律、运动学公式，兼顾考察学生处理多过程问题的能力，阅读图象的能力，必要的数学计算能力．